sujet : Pondichery

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. 1. Modéliser le changement de situation par un graphe probabiliste de sommets nommés A et B.

      Il s'agit de représenter à l'aide d'un graphe, l'évolution au cours du temps d'un système pouvant être dans l'état A ou l'état B.

      D'une année sur l'autre, la société « Alizés », conserve 80% de sa clientèle et récupère 15% des clients de la société concurrente :

      • La probabilité de rester dans l'état A est $p_{A_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,8}$ ; la probabilité de passer de l'état A à l'état B est donc $p_{A_n}\left(B_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2}$.
      • La probabilité de passer de l'état B à l'état A est $p_{B_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,15}$ ; la probabilité de rester dans l'état B est donc $p_{B_n}\left(B_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,15}=\mathrm{0,85}$.

      Le graphe probabiliste d'ordre 2 se présente de la manière suivante :

      ---

   2. On note M la matrice de transition de ce graphe. Recopier et compléter sur la copie la matrice suivante : $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& ...\\ \mathrm{0,15}& ...\end{array}\right)$.

      La matrice de transition M de ce graphe est d'après la définition,Étant donné un graphe probabiliste d'ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n, sa matrice de transition est la matrice carrée M d'ordre n dont le coefficient $a_{ij}$ a pour valeur le poids de l'arête allant du sommet i au sommet j si cette arête existe, 0 sinon.

      $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)$.

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2. En 2005, la société « Alizés » a transporté 45% des touristes. On a donc $a_0=\mathrm{0,45}$.

   1. Calculer la probabilité qu'un touriste choisisse la société « Alizés » en 2006.

      En 2005, la société « Alizés » a transporté 45% des touristes, par conséquent, 55% des touristes ont été transportés par la compagnie B.

      L'état probabiliste initial est donc $P_0=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,45}& \mathrm{0,55}\end{array}\right)$.

      En 2006, l'état probabiliste est $P_1=P_0\times M$

      Soit $$\begin{array}{lll}{P}_1& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,45}& \mathrm{0,55}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,45}\times \mathrm{0,8}+\mathrm{0,55}\times \mathrm{0,15}& \mathrm{0,45}\times \mathrm{0,2}+\mathrm{0,55}\times \mathrm{0,85}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4425}& \mathrm{0,5575}\end{array}\right)\end{array}$$

      La probabilité qu'un touriste choisisse la société « Alizés » en 2006 est égale à 0,4425.

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   2. Déterminer la matrice $P_2$ et interpréter ces résultats.

      $P_2=P_0{M}^2$ est la matrice ligne exprimant l'état probabiliste en 2007. (Voir la propriété)M est la matrice de transition d'un graphe probabiliste.
      $P_0$ est la matrice ligne décrivant l'état initial, et $P_n$ l'état probabiliste à l'étape n.
      Alors $P_n=P_0{M}^n$.

      Soit $$\begin{array}{lll}{P}_2& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,45}& \mathrm{0,55}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)}^2\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,45}& \mathrm{0,55}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,67}& \mathrm{0,33}\\ \mathrm{0,2475}& \mathrm{0,7525}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,437625}& \mathrm{0,562375}\end{array}\right)\end{array}$$

      L'état probabiliste $P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,437625}& \mathrm{0,562375}\end{array}\right)$. Donc en 2007 43,76% des touristes choisiront probablement la société « Alizés » et 56,24% choisiront la société B.

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3. Soit $P=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$ avec a et b deux réels positifs tels que $a+b=1$.

   1. Déterminer a et b tels que $P=P\times M$.

      $$\begin{array}{rcl}P=P\times M& \iff & \left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)\\ & \iff & \left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}a+\mathrm{0,15}b& \mathrm{0,2}a+\mathrm{0,85}b\end{array}\right)\end{array}$$

      Soit a et b solutions du système $\{\begin{array}{c}a=\mathrm{0,8}a+\mathrm{0,15}b\\ b=\mathrm{0,2}a+\mathrm{0,85}b\end{array}$ c'est à dire $\{\begin{array}{c}\mathrm{0,2}a-\mathrm{0,15}b=0\\ \mathrm{0,2}a-\mathrm{0,15}b=0\end{array}$.

      D'autre part, a et b sont deux réels positifs tels que $a+b=1$. D'où $P=P\times M$ et $a+b=1$ équivaut à : $\left(S\right)\{\begin{array}{r}\mathrm{0,2}a-\mathrm{0,15}b=0\\ a+b=1\end{array}$. Soit $$\{\begin{array}{r}\mathrm{0,2}a-\mathrm{0,15}b=0\\ a+b=1\end{array}\iff \{\begin{array}{r}\mathrm{0,35}a=\mathrm{0,15}\\ a+b=1\end{array}\iff \{\begin{array}{r}a={\displaystyle \frac{3}{7}}\\ b={\displaystyle \frac{4}{7}}\end{array}$$

      Les réels a et b tels que $P=P\times M$ sont $a={\displaystyle \frac{3}{7}}\text{ et }b={\displaystyle \frac{4}{7}}$.

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   2. En déduire $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n$.

      D'après la question précédente P est la solution de l'équation $P=P\times M$. Donc P est l'état stable du système. (Voir le théorème) Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0.
      Alors :
      1. L'état $P_n$ à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial $P_0$.
      2. De plus, P est l'unique solution de l'équation $X=X\times M$ où $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $x+y=1$.

      Par conséquent, indépendamment de l'état initial, l'état $P_n$ converge vers l'état P.

      Donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n={\displaystyle \frac{3}{7}}$.

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   3. Interpréter ce résultat.

      L'état $P_n$ à l'étape n converge vers l'état $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{7}}& {\displaystyle \frac{4}{7}}\end{array}\right)$ indépendamment de l'état initial $P_0$, cela signifie que :

      A long terme, la société « Alizés », transportera ${\displaystyle \frac{3}{7}}$ des touristes et la société B ${\displaystyle \frac{4}{7}}$.

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4. On admet qu'en 2015, la probabilité qu'un touriste choisisse la société A est ${\displaystyle \frac{3}{7}}$. On interroge quatre touristes choisis au hasard ; les choix des touristes sont indépendants les uns des autres.
   Déterminer la probabilité qu'au moins un des quatre touristes choisisse la société « Alizés » pour ses vacances en 2015.

   Interroger un touriste au hasard est une épreuve de Bernoulli dont les deux issues, choisir la société « Alizés » (succès) ou son concurrent B (échec) ont pour probabilités respectives ${\displaystyle \frac{3}{7}}$ et ${\displaystyle \frac{4}{7}}$.

   Interroger quatre touristes choisis au hasard et indépendamment les uns des autres, est la répétition de quatre épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de succès est une loi binomiale de paramètres 4 et ${\displaystyle \frac{3}{7}}$.

   L'évènement "au moins un des quatre touristes choisi la société « Alizés » " est l'évènement contraire de l'évènement "les quatre touristes ont choisi la compagnie B".

   Or la probabilité d'obtenir quatre échecs consécutifs est : ${\left({\displaystyle \frac{4}{7}}\right)}^4={\displaystyle \frac{256}{2401}}$.

   Par conséquent la probabilité d'obtenir au moins un succès est : $1-{\displaystyle \frac{256}{2401}}={\displaystyle \frac{2145}{2401}}$.

   La probabilité qu'au moins un des quatre touristes choisisse la société « Alizés » pour ses vacances en 2015 est 0,8934 (arrondie à 10^-4).

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