sujet : Pondichery

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Énoncé de l'exercice

Soit a un réel constant strictement positif.
On considère les fonctions f et g, de variable x, définies sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\ln \left(ax\right)$ et $g\left(x\right)=\ln a+\ln x$.

Partie 1

Dans le cas où a = 2, donner les fonctions dérivées de $f:x\to \ln \left(2x\right)$ et $g:x\to \ln 2+\ln x$.

• Dérivée de la fonction f

  Pour tout réel x strictement positif on pose $u\left(x\right)=2x$ d'où $u\prime \left(x\right)=2$

  u est une fonction définie, dérivable et strictement positive sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, f est la fonction composée définie par $f\left(x\right)=\ln \left(u\left(x\right)\right)$. D'après le théorème 2 :Soit u une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle I, la fonction composée définie par $x\to \ln \left(u\left(x\right)\right)$ est dérivable sur I, de fonction dérivée $x\to {\displaystyle \frac{u\prime \left(x\right)}{u\left(x\right)}}$

  f est dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ et $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{2x}}={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

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• Dérivée de la fonction g

  Pour tout réel x strictement positif on pose $u\left(x\right)=\ln 2$ et $v\left(x\right)=\ln x$ d'où $u\prime \left(x\right)=0$ et $v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

  Ainsi g est la somme de deux fonctions définies et dérivables sur $\left]0;+\infty \right[$. D'après le théorème 3 :La somme f de deux fonctions dérivables u et v sur un même intervalle I est dérivable sur I et $f\prime =u\prime +v\prime$

  g est dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ et $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

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Partie 2 : Démonstration de la propriété

1. Calculer et comparer les dérivées de f et de g dans le cas général où a est un réel constant strictement positif.

   • Dérivée de la fonction f

     Pour tout réel x strictement positif on pose $u\left(x\right)=ax$ d'où $u\prime \left(x\right)=2$.

     a est un réel constant strictement positif, alors u est une fonction définie, dérivable et strictement positive sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$. f est donc la fonction composée définie par $f\left(x\right)=\ln \left(u\left(x\right)\right)$. D'après le théorème 2 :Soit u une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle I, la fonction composée définie par $x\to \ln \left(u\left(x\right)\right)$ est dérivable sur I, de fonction dérivée $x\to {\displaystyle \frac{u\prime \left(x\right)}{u\left(x\right)}}$

     f est dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ et $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{a}{ax}}={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

     ---

   • Dérivée de la fonction g

     Pour tout réel x strictement positif on pose $u\left(x\right)=\ln a$ et $v\left(x\right)=\ln x$ d'où $u\prime \left(x\right)=0$ et $v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

     Ainsi g est la somme de deux fonctions définies et dérivables sur $\left]0;+\infty \right[$. D'après le théorème 3 :La somme f de deux fonctions dérivables u et v sur un même intervalle I est dérivable sur I et $f\prime =u\prime +v\prime$

     g est dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ et $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

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   Ainsi f et g sont deux fonctions dérivables sur $\left]0;+\infty \right[$ de dérivée $x\to {\displaystyle \frac{1}{x}}$.

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2. Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe un réel k tel que, pour tout $x\in \left]0;+\infty \right[$, $f\left(x\right)=g\left(x\right)+k$ ?

   D'après la question précédente sur $\left]0;+\infty \right[$, les fonctions f et g sont deux primitives de la fonction $x\to {\displaystyle \frac{1}{x}}$ . D'après le théorème 1 ,Sur un intervalle I, deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. elles diffèrent d'une constante donc :

   Il existe un réel k tel que, pour tout $x\in \left]0;+\infty \right[$, $f\left(x\right)=g\left(x\right)+k$.

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3. En posant x = 1 , déterminer la valeur de k.

   Pour tout $x\in \left]0;+\infty \right[$, $f\left(x\right)=g\left(x\right)+k$, en particulier $f\left(1\right)=g\left(1\right)+k$.

   Soit $\ln \left(a\times 1\right)=\ln a+\ln 1+k$. D'où d'après la définition :$\ln 1=0$.

   $\ln \left(a\right)=\ln a+k$.

   Donc k = 0.

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4. Justifier la propriété fondamentale de la fonction ln énoncée en début d'exercice.

   Pour tout $x>0$ et pour tout réel $a>0$, $f\left(x\right)=g\left(x\right)$. Soit $\ln \left(ax\right)=\ln a+\ln x$.

   D'où le résultat en remplaçant x par b.

   Pour tous réels strictement positifs a et b, $\ln \left(ab\right)=\ln a+\ln b$.

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