sujet : Pondichery

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Partie 1

Soient les fonctions f et g définies sur $\left[0;9\right]$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{10}{1+x}}-1$ et $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{2}}$.

1. Résoudre algébriquement l'équation : $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.

   Les solutions de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ sont les réels x de l'intervalle $\left[0;9\right]$ solutions de l'équation ${\displaystyle \frac{10}{1+x}}-1={\displaystyle \frac{x}{2}}$.

   Or $$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{10}{1+x}}-1={\displaystyle \frac{x}{2}}& \iff & {\displaystyle \frac{10}{1+x}}-1-{\displaystyle \frac{x}{2}}=0\\ \\ & \iff & {\displaystyle \frac{2\times 10}{2\left(1+x\right)}}-{\displaystyle \frac{2\left(1+x\right)}{2\left(1+x\right)}}-{\displaystyle \frac{x\left(1+x\right)}{2\left(1+x\right)}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{20-2-2x-x-x^2}{2\left(1+x\right)}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{18-3x-x^2}{2\left(1+x\right)}}=0\end{array}$$

   Nous sommes amenés à chercher les solutions réelles de l'équation du second degré : $-x^2-3x+18=0$, comprises dans l'intervalle $\left[0;9\right]$.

   $\mathrm{\Delta }={\left(-3\right)}^2-4\times \left(-1\right)\times 18=81$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions :

   $x_1={\displaystyle \frac{3-9}{-2}}=3$ et $x_2={\displaystyle \frac{3+9}{-2}}=-6$. Or $-6\notin [0;9]$.

   Ainsi l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ admet une solution unique $x=3$.

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2. Calculer l'intégrale : $I={\displaystyle {\int }_3^{9}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ ; on donnera la valeur exacte de I.

   Cherchons une primitive de la fonction $g:x\to {\displaystyle \frac{10}{1+x}}$ définie sur l'intervalle [0;9]

   $g={\displaystyle \frac{10}{u}}$ avec $u\left(x\right)=1+x$.

   Or sur l'intervalle [0;9] la fonction $u:x\to 1+x$ est positive et de plus $u\prime \left(x\right)=1$.

   D'où $g=10\times {\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ ( u > 0) alors une primitive de la fonction g est la fonction $G=10\ln u$ (Voir Primitive de ${\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$)u est une fonction dérivable sur un intervalle I, et strictement positive sur cet intervalle. Alors, une primitive de la fonction ${\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ est la fonction :$$x\to \ln [u\left(x\right)]$$

   Par conséquent :$$\begin{array}{lll}I={\displaystyle {\int }_3^{9}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\int }_3^9\left({\displaystyle \frac{10}{1+x}}-1\right)\mathrm{d}x}\\ & =& {\displaystyle {[10\ln \left(1+x\right)-x]}_3^9}\\ & =& \left(10\ln \left(10\right)-9\right)-\left(10\ln \left(4\right)-3\right)\\ & =& 10\left(\ln 10-\ln 4\right)-6\\ & =& 10\ln \left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)-6\end{array}$$

   Ainsi l'intégrale : $I=10\ln \left(\mathrm{2,5}\right)-6$.

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Partie 2

1. On pourra utiliser le graphique pour conjecturer les réponses aux questions suivantes, puis on les justifiera algébriquement.

   1. Combien de boîtes seront achetées par les consommateurs si le prix de vente est de 40 euros la boîte ?

      La quantité achetée par les consommateurs, en fonction du prix x (en dizaines d'euros) appliqué sur le marché, est donnée par $f\left(x\right)$ (en centaines de boîtes).

      Or $f\left(4\right)={\displaystyle \frac{10}{1+4}}-1=1$.

      Si le prix de vente est de 40 euros la boîte, les consommateurs achèteront 100 boîtes.

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   2. Lorsque l'offre est égale à la demande, le marché a atteint son équilibre. Donner le prix d'équilibre, en euros, et le nombre de boîtes correspondant.

      Le prix d'équilibre, en dizaines d'euros euros, est la solution de l'équation : $f\left(x\right)=g\left(x\right)$. D'après le résultat de la première question de la partie 1, le prix d'équilibre est égal à 30 euros.

      Le nombre de centaines de boîtes correspondant à ce prix d'équilibre est $f\left(3\right)=g\left(3\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}=\mathrm{1,5}$.

      Le prix d'équilibre est égal à 30 euros. Le nombre de boîtes correspondant est de 150.

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2. 1. D'après le graphique, les producteurs étaient disposés à vendre les boîtes à un prix inférieur au prix d'équilibre.
      On appelle surplus des producteurs le gain réalisé en vendant les boîtes au prix d'équilibre. Ce gain est donné en milliers d'euros par l'aire du triangle OAE (1 unité d'aire = 1 millier d'euros). Calculer ce surplus en euros.

      L'aire du triangle rectangle OAE en unité d'aire est égale à ${\displaystyle \frac{\mathrm{OA}\times \mathrm{AE}}{2}}$. Soit ${\displaystyle \frac{3\times \mathrm{1,5}}{2}}=\mathrm{2,25}$.

      Le surplus des producteurs est égal à 2 250 euros.

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   2. Le surplus des consommateurs est l'économie réalisée par les consommateurs qui étaient prêts à payer plus cher que le prix d'équilibre.
      Ce surplus est donné, en milliers d'euros, par l'aire de la partie coloriée du plan sur le graphique $\left(3⩽x⩽9\right)$.
      Préciser quelle intégrale permet de calculer ce surplus et en donner l'arrondi à l'euro.

      Sur l'intervalle $[3;9]$ la fonction f est continue et positive alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire : Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

      L'aire en unités d'aire de la partie coloriée du plan sur le graphique est égale à l'intégrale ${\displaystyle {\int }_3^{9}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      Donc l'aire de la partie coloriée du plan sur le graphique est égale à $10\ln \left(\mathrm{2,5}\right)-6$ unités d'aire.

      Le surplus des consommateurs est égal à 3 163 euros.

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