Baccalauréat Avril 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Pondichery

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pendant la saison estivale, deux sociétés de transport maritime ont l'exclusivité de l'acheminement des touristes entre deux îles du Pacifique. On admet que le nombre de touristes transportés pendant chaque saison est stable.

La société « Alizés » a établi une enquête statistique sur les années 2001 à 2005 afin de prévoir l'évolution de la capacité d'accueil de ses navires.

L'analyse des résultats a conduit au modèle suivant : d'une année sur l'autre, la société « Alizés », notée A, conserve 80% de sa clientèle et récupère 15% des clients de la société concurrente, notée B.

Pour tout entier naturel n, on note pour la saison (2005 + n) :

Les résultats pour les probabilités seront arrondies à 10-4.

    1. Modéliser le changement de situation par un graphe probabiliste de sommets nommés A et B.

      Il s'agit de représenter à l'aide d'un graphe, l'évolution au cours du temps d'un système pouvant êre dans l'état A ou l'état B.

    2. On note M la matrice de transition de ce graphe. Recopier et compléter sur la copie la matrice suivante : M=(0,18...0,15...).

  1. En 2005, la société « Alizés » a transporté 45% des touristes. On a donc a0=0,45.

    1. Calculer la probabilité qu'un touriste choisisse la société « Alizés » en 2006.

    2. Déterminer la matrice P2 et interpréter ces résultats.

      Propriété

      M est la matrice de transition d'un graphe probabiliste.
      P0 est la matrice ligne décrivant l'état initial, et Pn l'état probabiliste à l'étape n.
      Alors Pn=P0Mn.

  2. Soit P=(ab) avec a et b deux réels positifs tels que a+b=1.

    1. Déterminer a et b tels que P=P×M.

    2. En déduire limn+an.

      théorème

      Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0.
      Alors :
      1. L'état Pn à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial P0.
      2. De plus, P est l'unique solution de l'équation X=X×MX=(xy) avec x+y= 1 .

    3. Interpréter ce résultat.

  3. On admet qu'en 2015, la probabilité qu'un touriste choisisse la société A est 37. On interroge quatre touristes choisis au hasard ; les choix des touristes sont indépendants les uns des autres.
    Déterminer la probabilité qu'au moins un des quatre touristes choisisse la société « Alizés » pour ses vacances en 2015.

    Interroger quatre touristes choisis au hasard et indépendamment les uns des autres, est la répétition de quatre épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de succès est une loi binomiale de paramètres 4 et 37.


Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.