sujet : La Réunion

correction de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

partie a

1. Calculer l'accroissement relatif de la population du 1^er janvier 2000 au 1^er janvier 2005 (donner la valeur décimale arrondie au centième).

   L'accroissement relatif de la population du 1^er janvier 2000 au 1^er janvier 2005 est : $${\displaystyle \frac{\mathrm{16,9}-\mathrm{10,5}}{\mathrm{10,5}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,4}}{\mathrm{10,5}}}$$

   Arrondi au centième, l'accroissement relatif de la population du 1^er janvier 2000 au 1^er janvier 2005 est égal à 0,61. Soit une augmentation de la population de 61%.

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2. Si le taux d'augmentation de cette population d'une année à l'autre du 1^er janvier 2000 au 1^er janvier 2005 avait été fixe et égal à 10 %, quel résultat aurait-on obtenu pour la population le 1^er janvier 2005 à partir du nombre d'habitants au 1^er janvier 2000 (donner la valeur décimale arrondie au dixième) ?

   Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 10% est :$$1+{\displaystyle \frac{10}{100}}=\mathrm{1,1}$$

   En 5 ans avec une augmentation de 10% de la population d'une année sur l'autre on obtient une population de : $$\mathrm{10,5}\times {\left(\mathrm{1,1}\right)}^5$$

   Soit arrondie au dixième 16,9 milliers d'habitants au au 1^er janvier 2005.

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partie b

On modélise de façon continue l'évolution de cette population (exprimée en milliers d'habitants) pour une période de 8 années en utilisant la fonction f définie sur l'intervalle [0; 8] par $f\left(x\right)=\mathrm{10,5}\times {\left(\mathrm{1,1}\right)}^x$. Le nombre réel x, exprimé en années, représente le temps écoulé depuis le 1^er janvier 2000 ; ainsi le nombre $f\left(0\right)=\mathrm{10,5}$ représente le nombre d'habitants (en milliers) au 1^er janvier 2000 (c'est-à-dire la population initiale).

1. 1. Calculer le nombre $f\left(\mathrm{6,5}\right)$, c'est-à-dire le nombre d'habitants (en milliers), que l'on peut prévoir en utilisant ce modèle pour le 1^er juillet 2006 (donner la valeur décimale arrondie au dixième).

      $f\left(\mathrm{6,5}\right)=\mathrm{10,5}\times {\left(\mathrm{1,1}\right)}^{\mathrm{6,5}}$

      Soit arrondie au dixième 19,5 milliers d'habitants au au 1^er juillet 2006.

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   2. En utilisant ce modèle quel nombre d'habitants (en milliers) peut-on prévoir au 1^er janvier 2007 (donner la valeur décimale arrondie au dixième) ?

      Le 1^er janvier 2007 correspond au rang 7 et $$f\left(7\right)=\mathrm{10,5}\times {\left(\mathrm{1,1}\right)}^7$$

      Soit arrondie au dixième 20,5 milliers d'habitants au au 1^er janvier 2007.

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2. Ci-dessous, on a tracé la représentation graphique (Γ) de la fonction f, dans le plan muni d'un repère orthogonal.
   Utiliser le graphique (laisser apparents les traits de construction) pour donner le nombre d'habitants (en milliers) au 1^er octobre 2003.

   Le 1^er octobre 2003 correspond au réel 3,75 et le point de la courbe (Γ) d'abscisse 3,75 a pour ordonnée 15.

   Graphiquement, la population estimée au 1^er octobre 2003 est de 15 milliers d'habitants.

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3. On cherche à évaluer le temps minimum t écoulé depuis le 1^er janvier 2000, nécessaire pour que la population initiale double.

   1. À l'aide du graphique et en laissant apparents les traits de construction, donner une valeur approchée de t exprimée en années et en trimestres.

      La droite d'équation $y=21$ coupe la courbe (Γ) au point d'abscisse $x>\mathrm{7,25}$

      Graphiquement, la population aura plus que doublé au bout de 7 ans et deux trimestres.

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   2. Déterminer t par le calcul (donner la valeur décimale arrondie au dixième).

      On cherche à déterminer la plus petite valeur décimale x arrondie au dixième telle que :$$\begin{array}{llll}f\left(x\right)⩾21& \iff & \mathrm{10,5}\times {\left(\mathrm{1,1}\right)}^x⩾21& \\ & \iff & {\mathrm{1,1}}^x⩾2& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{1,1}}^x\right)⩾\ln 2& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & x\ln \mathrm{1,1}⩾\ln 2& \\ & \iff & x⩾{\displaystyle \frac{\ln 2}{\ln \mathrm{1,1}}}\approx \mathrm{7,27}& \end{array}$$

      Le temps minimum t arrondi au dixième, écoulé depuis le 1^er janvier 2000, nécessaire pour que la population initiale double est de 7,3 années.

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