sujet : La Réunion

Corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. Décrire cette situation aléatoire par un arbre pondéré.

   • Un tiers des personnes de cette population est abonné au fournisseur A d'où $p\left(A\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$ et, $p\left(B\right)=1-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$
   • 60% des personnes abonnées au fournisseur A accèdent à Internet par le haut débit d'où $p_A\left(H\right)=\mathrm{0,6}$.
   • 51 % des personnes abonnées au fournisseur B accèdent à Internet par le haut débit d'où $p_B\left(H\right)=\mathrm{0,51}$.

   D'où l'arbre pondéré traduisant la situation :

2. Montrer que la probabilité de l'évènement « la personne est abonnée au fournisseur A et accède à Internet par le haut débit » est égale à 0,20.

   La probabilité de l'évènement « la personne est abonnée au fournisseur A et accède à Internet par le haut débit » est :$$\begin{array}{lll}p\left(A\cap H\right)& =& p_A\left(H\right)\times p\left(A\right)\\ & =& \mathrm{0,6}\times {\displaystyle \frac{1}{3}}=\mathrm{0,2}\end{array}$$

   Ainsi, la probabilité de l'évènement « la personne est abonnée au fournisseur A et accède à Internet par le haut débit » est égale à 0,20.

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3. Montrer que la probabilité de l'évènement H : « la personne accède à Internet par le haut débit » est égale à 0,54.

   Il existe deux fournisseurs A et B et toute personne est abonnée à un seul de ces fournisseurs alors, A et B  forment une partition de l'univers des éventualités.

   D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(H\right)=p\left(H\cap A\right)+p\left(H\cap B\right)$$

   Or $$\begin{array}{llll}p\left(B\right)& =& 1-p\left(A\right)& \\ & =& 1-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$

   et $$\begin{array}{lll}p\left(B\cap H\right)& =& p_B\left(H\right)\times p\left(B\right)\\ & =& \mathrm{0,51}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}=\mathrm{0,34}\end{array}$$

   Donc $$\begin{array}{lll}p\left(H\right)& =& p\left(H\cap A\right)+p\left(H\cap B\right)\\ & =& \mathrm{0,2}+\mathrm{0,34}=\mathrm{0,54}\end{array}$$

   Ainsi, la probabilité de l'évènement H : « la personne accède à Internet par le haut débit » est égale à 0,54.

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4. Calculer $p_H\left(A\right)$, probabilité de A sachant H, puis en donner la valeur décimale arrondie au centième.

   La probabilité conditionnelle de A sachant que H est réalisé est :$$\begin{array}{lll}{p}_H\left(A\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(H\cap A\right)}{p\left(H\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,54}}}={\displaystyle \frac{10}{27}}\end{array}$$

   La valeur décimale arrondie au centième de $p_H\left(A\right)$ est 0,37.

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5. On choisit au hasard trois personnes dans cette population. On admet que le nombre de personnes est suffisamment grand pour assimiler le choix des trois personnes à des tirages successifs indépendants avec remise. Calculer la probabilité de l'évènement :
   « exactement deux des personnes choisies accèdent à Internet par le haut débit ». On en donnera la valeur décimale arrondie au centième.

   Le nombre de personnes est suffisamment grand pour assimiler le choix des trois personnes à des tirages successifs indépendants avec remise. Alors, la loi de probabilité associée au nombre de personnes qui accèdent à Internet par le haut débit est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,54.

   Il y a trois issues qui correspondent à l'évènement « exactement deux des personnes choisies accèdent à Internet par le haut débit » : $HH\overline{H},H\overline{H}H\text{ et }\overline{H}HH$.

   La probabilité de l'évènement : « exactement deux des personnes choisies accèdent à Internet par le haut débit » est : $$3\times {\mathrm{0,54}}^2\times \left(1-\mathrm{0,54}\right)=\mathrm{0,402408}$$

   Arrondie au centième la probabilité de l'évènement : « exactement deux des personnes choisies accèdent à Internet par le haut débit » est 0,40.

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