sujet : La Réunion

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

La courbe (C) donnée ci-dessous représente dans un repère orthonormal $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ})$ une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ à valeurs strictement positives sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

On note $f\prime$ la fonction dérivée de f.

On sait que :

• La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $\left[2;+\infty \right[$.
• La courbe (C) passe par les points O, A et B.
• Le point A a pour coordonnées $\left(1;1\right)$ ; la droite (OA) est tangente à la courbe (C) au point A.
• Le point B a pour coordonnées $\left(2;{\displaystyle \frac{4}{\mathrm{e}}}\right)$. Au point B, la courbe (C) admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
• L'axe des abscisses est asymptote à la courbe (C).

partie a

1. 1. Donner $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$, puis $f\prime \left(1\right)$ et $f\prime \left(2\right)$ (justifier les résultats).

   2. Montrer que, dans l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ , l'équation $f\left(x\right)=1$ admet exactement deux solutions dont l'une est le nombre 1 ; l'autre solution est notée α.

      Théorème de la valeur intermédiaire :

      Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

2. On considère la fonction g définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=\ln \left(f\left(x\right)\right)$.
   Déterminer le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ .

   Théorème :

   Les fonctions u et $\ln u$ ont les mêmes variations sur un intervalle où la fonction u est strictement positive.

partie b

Dans cette partie, on admet que la fonction f représentée ci-dessus est définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par : $f\left(x\right)=x^2\times {\mathrm{e}}^{-x+1}$.

1. On rappelle que la fonction g est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=\ln \left(f\left(x\right)\right)$.

   1. Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $g\left(x\right)=-x+1+2\ln \left(x\right)$.

   2. La fonction g est dérivable sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, on note $g\prime$ sa fonction dérivée.
      Calculer $g\prime \left(x\right)$ pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.
      Retrouver, par le calcul, le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

2. Soit la fonction dérivable h définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $h\left(x\right)=\left(x^2+2x+2\right)\times {\mathrm{e}}^{-x+1}$.

   1. On note $h\prime$ la fonction dérivée de h sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$. Calculer $h\prime \left(x\right)$ pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

   2. Vérifier que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $f\left(x\right)=-h\prime \left(x\right)$.
      En déduire une primitive F de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

      Dire que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, signifie que pour tout réel $x\in [0;+\infty [$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   3. Calculer, en unités d'aire, l'aire de la surface comprise entre la courbe (C), l'axe des abscisses et la droite d'équation $x=2$. Donner la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au dixième.

      Lien entre l'intégrale et aire :

      Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

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