Baccalauréat septembre 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : La Réunion

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On s'intéresse à une population de 135 000 personnes abonnées à un fournisseur d'accès à Internet. Il existe deux fournisseurs A et B. Toute personne est abonnée à un seul de ces fournisseurs. On sait qu'un tiers des personnes de cette population est abonné au fournisseur A.
Par ailleurs, 60% des personnes abonnées au fournisseur A accèdent à Internet par le haut débit, et 51 % des personnes abonnées au fournisseur B accèdent à Internet par le haut débit.
On choisit une personne au hasard dans cette population, et on admet que la probabilité d'un évènement est assimilée à la fréquence correspondante.

On note :
A, l'évènement : « la personne choisie est abonnée au fournisseur A »
B, l'évènement : « la personne choisie est abonnée au fournisseur B »
H, l'évènement : « la personne choisie accède à Internet par le haut débit »

Décrire cette situation aléatoire par un arbre pondéré.
Montrer que la probabilité de l'évènement « la personne est abonnée au fournisseur A et accède à Internet par le haut débit » est égale à 0,20.
Montrer que la probabilité de l'évènement H : « la personne accède à Internet par le haut débit » est égale à 0,54.
A et B forment une partition de l'univers des éventualités. D'après la formule des probabilités totales : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$ $p (H) = p (H \cap A) + p (H \cap B)$
Calculer $p_{H} (A)$ , probabilité de A sachant H, puis en donner la valeur décimale arrondie au centième.
On choisit au hasard trois personnes dans cette population. On admet que le nombre de personnes est suffisamment grand pour assimiler le choix des trois personnes à des tirages successifs indépendants avec remise. Calculer la probabilité de l'évènement :
« exactement deux des personnes choisies accèdent à Internet par le haut débit ». On en donnera la valeur décimale arrondie au centième.
Il y a trois issues qui correspondent à l'évènement « exactement deux des personnes choisies accèdent à Internet par le haut débit » : $H H \bar{H}, H \bar{H} H et \bar{H} H H$ .

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