sujet : La Réunion

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Lors de sa création au 1^er janvier 2000, un club de sport a 300 adhérents. À la fin de la première année, trois quarts des adhérents se réinscrivent et 120 nouveaux membres adhèrent.

Pour tout nombre entier naturel n, on appelle $a_n$ le nombre d'adhérents du club, exprimé en centaines, n années après la création du club. On a donc $a_0=3$.

On suppose que le nombre d'adhérents au club évolue de la même façon les années suivantes. Ainsi, pour tout nombre entier naturel n, $a_{n+1}=\mathrm{0,75}{a}_n+\mathrm{1,2}$.

partie a : Étude graphique de la suite ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

Dans le repère donné en ANNEXE 2, à rendre avec la copie, on a représenté la droite D d'équation $y=\mathrm{0,75}x+\mathrm{1,2}$ et la droite Δ d'équation $y=x$ pour les abscisses comprises entre 0 et 6.

1. Placer $a_0$ sur l'axe des abscisses et, en utilisant les droites D et Δ, placer sur l'axe des abscisses les valeurs $a_1,a_2,a_3,a_4$ (laisser apparents les traits de construction).

   Pour obtenir la représentation des termes de la suite :

   • Placer le terme initial $a_0$ sur l'axe des abscisses.
   • Comme $a_1=\mathrm{0,75}{u}_0+\mathrm{1,2}$, $a_1$ est l'ordonnée du point de la droite D d'équation $y=\mathrm{0,75}x+\mathrm{1,2}$ d'abscisse 3.
   • À l'aide de la droite Δ d'équation $y=x$ on rabat l'ordonnée $a_1$ sur l'axe des abscisses.
   • Pousuivre le procédé pour représenter les termes $a_2\text{, }{a}_3\text{ et }{a}_4$.

2. Quelle semble être la limite de la suite ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ ?

annexe 2

partie b : Étude numérique de la suite ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

On considère la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_n=a_n-\mathrm{4,8}$ pour tout nombre entier naturel n.

1. 1. Calculer $u_0$.

   2. Démontrer que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison 0,75.

      Dire que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison 0,75, signifie que pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,75}\times u_n$.

   3. En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, $a_n=\mathrm{4,8}-\mathrm{1,8}\times {\left(\mathrm{0,75}\right)}^n$.

      Si $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,75, alors, $u_n=u_0\times {\mathrm{0,75}}^n$.

   4. Déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n$.

2. Si l'évolution du nombre d'adhérents se poursuit selon ce modèle, le club peut-il avoir 500 adhérents durant une année ? Pourquoi ?

   Une suite croissante et convergente, est majorée par sa limite.

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