Baccalauréat septembre 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : La Réunion

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

La courbe (C) donnée ci-dessous représente dans un repère orthonormal $(O; \vec{𝚤}, \vec{ȷ})$ une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $[0; + \infty [$ à valeurs strictement positives sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .

On note $f'$ la fonction dérivée de f.

On sait que :

La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $[0; 2]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[2; + \infty [$ .
La courbe (C) passe par les points O, A et B.
Le point A a pour coordonnées $(1; 1)$ ; la droite (OA) est tangente à la courbe (C) au point A.
Le point B a pour coordonnées $(2; \frac{4}{e})$ . Au point B, la courbe (C) admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
L'axe des abscisses est asymptote à la courbe (C).

partie a

1. Donner $\lim_{x \to + \infty} f (x)$ , puis $f' (1)$ et $f' (2)$ (justifier les résultats).
  - L'axe des abscisses est asymptote à la courbe (C) en $+ \infty$ alors, $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$
  - Le nombre dérivé $f' (1)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse 1.
    Or la droite (OA) est tangente à la courbe (C) au point $A (1; 1)$ .
    $f' (1)$ est donc le coefficient directeur de la droite (OA) d'équation $y = x$ . Donc $f' (1) = 1$
  - Au point $B (2; \frac{4}{e})$ , la courbe (C) admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses. Donc $f' (2) = 0$
2. Montrer que, dans l'intervalle $[0; + \infty [$ , l'équation $f (x) = 1$ admet exactement deux solutions dont l'une est le nombre 1 ; l'autre solution est notée α.
  - La fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle $[0; 2]$ , $f (0) = 0$ et $f (2) = \frac{4}{e}$ d'où, $f (0) < 1 < f (2)$ .
    Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire,Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ . l'équation $f (x) = 1$ admet une seule solution dans l'intervalle $[0; 2]$ .
    Comme d'autre part, $f (1) = 1$ 1 est l'unique solution dans l'intervalle $[0; 2]$ .
  - La fonction f est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $[2; + \infty [$ , $f (2) = \frac{4}{e}$ et $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$ .
    Donc, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe un unique réel $α \in [2; + \infty [$ tel que $f (α) = 1$ .
  Dans l'intervalle $[0; + \infty [$ , l'équation $f (x) = 1$ admet exactement deux solutions dont l'une est le nombre 1 ; l'autre solution est $α \in [2; + \infty [$ .
Interprétation graphique : les solutions de l'équation $f (x) = 1$ sont les abscisses des points d'intersection de la droite d'équation $y = 1$ avec la courbe (C).
On considère la fonction g définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $g (x) = \ln (f (x))$ .
Déterminer le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .
La fonction f est à valeurs strictement positives sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ . La fonction g est la composée de la fonction f suivie de la fonction ln.
D'après le théorème sur le sens de variation de ln u, Les fonctions u et $\ln u$ ont les mêmes variations sur un intervalle où la fonction u est strictement positive. les fonctions g et f ont les mêmes variations sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .
La fonction g est strictement croissante sur l'intervalle $[0; 2]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[2; + \infty [$ .
Pour information : la courbe $C_{g}$ représentative de la fonction g est tracée ci-dessous,on a $g (1) = 0$ et $g (α) = 0$ .

partie b

Dans cette partie, on admet que la fonction f représentée ci-dessus est définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ par : $f (x) = x^{2} \times e^{- x + 1}$ .

On rappelle que la fonction g est définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $g (x) = \ln (f (x))$ .
1. Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $] 0; + \infty [$ , $g (x) = - x + 1 + 2 \ln (x)$ .
  Pour tout nombre réel $x \in] 0; + \infty [$ , $\begin{array}{l} g (x) & = & \ln (x^{2} \times e^{- x + 1}) \\ = & \ln (x^{2}) + \ln (e^{- x + 1}) & Pour tous réels a et b strictement positifs, \ln a b = \ln a + \ln b \\ = & \ln (x^{2}) - x + 1 & Pour tout réel x, \ln e^{x} = x \\ = & 2 \ln (x) - x + 1 & Pour tout réel a > 0, pour tout entier relatif n, \ln (a^{n}) = n \ln (a) \end{array}$
  Pour tout nombre réel $x \in] 0; + \infty [$ , $g (x) = - x + 1 + 2 \ln (x)$ .
2. La fonction g est dérivable sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ , on note $g'$ sa fonction dérivée.
  Calculer $g' (x)$ pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $] 0; + \infty [$ .
  Retrouver, par le calcul, le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .
  Pour tout réel $x \in] 0; + \infty [$ , $g' (x) = - 1 + \frac{2}{x} = \frac{2 - x}{x}$
  Ainsi pour tout réel $x \in] 0; + \infty [$ , $g' (x) = \frac{2 - x}{x}$ .
  Sur $] 0; + \infty [$ l'étude du signe de $g' (x)$ nous donne les variations de la fonction g.
  Or $\begin{matrix} 2 - x < 0 & \Leftrightarrow & x > 2 \end{matrix}$ .
  Donc :
  - Sur $] 0; 2 [$ $g' (x) > 0$ et la fonction g est strictement croissante sur cet intervalle.
  - Sur $] 2; + \infty [$ , $g' (x) < 0$ et la fonction g est strictement décroissante sur cet intervalle.
  La fonction g est strictement croissante sur l'intervalle $[0; 2]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[2; + \infty [$ .
Soit la fonction dérivable h définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ par $h (x) = (x^{2} + 2 x + 2) \times e^{- x + 1}$ .
1. On note $h'$ la fonction dérivée de h sur l'intervalle $[0; + \infty [$ . Calculer $h' (x)$ pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $[0; + \infty [$ .
  Pour tout réel $x \in [0; + \infty [$ , on pose $u (x) = x^{2} + 2 x + 2$ et $v (x) = e^{- x + 1}$ . h est donc le produit de deux fonctions dérivables u et v.
  Sur l'intervalle $[0; + \infty [$ , $h = u \times v$ d'où $h' = u' v + u v'$ . Avec $u' (x) = 2 x + 2$ et $v' (x) = - e^{- x + 1}$ .
  Par conséquent, pour tout réel $x \in [0; + \infty [$ , $\begin{array}{l} h' (x) & = & (2 x + 2) \times e^{- x + 1} + (x^{2} + 2 x + 2) \times (- e^{- x + 1}) \\ = & e^{- x + 1} \times ((2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 2)) \\ = & - x^{2} \times e^{- x + 1} \end{array}$
  Pour tout réel $x \in [0; + \infty [$ , $h' (x) = - x^{2} \times e^{- x + 1}$ .
2. Vérifier que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $[0; + \infty [$ , $f (x) = - h' (x)$ .
  En déduire une primitive F de la fonction f sur l'intervalle $[0; + \infty [$ .
  Dire que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $[0; + \infty [$ , signifie que pour tout réel $x \in [0; + \infty [$ , $F' (x) = f (x)$ .
  D'après la question précédente, sur l'intervalle $[0; + \infty [$ $f (x) = - h' (x)$ . Donc la fonction $- h$ est une primitive de la fonction f sur cet intervalle.
  La fonction F définie par $F (x) = - (x^{2} + 2 x + 2) \times e^{- x + 1}$ est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $[0; + \infty [$ .
3. Calculer, en unités d'aire, l'aire de la surface comprise entre la courbe (C), l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = 2$ . Donner la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au dixième.
  Sur l'intervalle $[0; 2]$ la fonction f est continue et positive alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire, Soit a et b deux réels tels que $a ⩽ b$ , f une fonction définie et continue sur l'intervalle $[a; b]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O; \vec{𝚤}, \vec{ȷ})$ .
  Si, pour tout réel x de l'intervalle $[a; b]$ , $f (x) ⩾ 0$ , alors $\int_{a}^{b} f (x) d x$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = a$ et $x = b$ . l'aire (en unités d'aire) de la surface comprise entre la courbe (C), l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = 2$ est égale à l'intégrale $\int_{0}^{2} f (x) d x$ .
  $\begin{array}{l} \int_{0}^{2} f (x) d x & = & {[- (x^{2} + 2 x + 2) \times e^{- x + 1}]}_{0}^{2} \\ = & (- (2^{2} + 2 \times 2 + 2) \times e^{- 2 + 1}) - (- (0^{2} + 2 \times 0 + 2) \times e^{- 0 + 1}) \\ = & - 10 e^{- 1} + 2 e \end{array}$
  L'aire de la surface comprise entre la courbe (C), l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = 2$ est égale à $2 e - \frac{10}{e}$ unités d'aire. Soit arrondie au dixième 1,8 unités d'aire.

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