Baccalauréat juin 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du nord

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

f est une fonction définie sur $] - 2; + \infty [$ par $f (x) = 3 + \frac{1}{x + 2}$ .
On note $f'$ sa fonction dérivée et (C) la représentation graphique de f dans le plan rapporté à un repère.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en cochant la bonne réponse . Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l'absence de réponse n'enlève aucun point et n'en rapporte aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

1) $f (x) = \frac{3 x + 6}{x + 2}$ . Pour tout réel $x > - 2$ : $3 + \frac{1}{x + 2} = \frac{3 (x + 2) + 1}{x + 2} = \frac{3 x + 7}{x + 2}$	VRAI	FAUX
2) La courbe (C) coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 3,5. La courbe (C) coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $f (0) = 3 + \frac{1}{0 + 2} = 3,5$	VRAI	FAUX
3) $\lim_{\begin{matrix} x \to - 2 \\ x > - 2 \end{matrix}} f (x) = 3$ . $\lim_{\begin{matrix} x \to - 2 \\ x > - 2 \end{matrix}} x + 2 = 0^{+}$ donc $\lim_{\begin{matrix} x \to - 2 \\ x > - 2 \end{matrix}} \frac{1}{x + 2} = + \infty$ d'où $\lim_{\begin{matrix} x \to - 2 \\ x > - 2 \end{matrix}} 3 + \frac{1}{x + 2} = + \infty$ soit $\lim_{\begin{matrix} x \to - 2 \\ x > - 2 \end{matrix}} f (x) = + \infty$	VRAI	FAUX
4) $\int_{0}^{2} f (x) d x = 6 + \ln 2$ . Pour tout réel $x > - 2$ , posons $u (x) = x + 2$ , alors $u' (x) = 1$ Ainsi, sur l'intervalle $] - 2; + \infty [$ , la fonction u est strictemment positive par conséquent, une primitive de la fonction $x ⟼ \frac{1}{x + 2}$ est la fonction $x ⟼ \ln (x + 2)$ Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur $] - 2; + \infty [$ par $F (x) = 3 x + \ln (x + 2)$ . D'où $\begin{array}{l} \int_{0}^{2} f (x) d x & = & F (2) - F (0) \\ = & 6 + \ln 4 - \ln 2 \\ = & 6 + 2 \ln 2 - \ln 2 \\ = & 6 + \ln 2 \end{array}$	VRAI	FAUX
5) La droite d'équation $y = 3$ est asymptote à (C). $\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x + 2} = 0$ d'où $\lim_{x \to + \infty} 3 + \frac{1}{x + 2} = 3$ . Ainsi, $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 3$ donc la droite d'équation $y = 3$ est asymptote à (C) en $+ \infty$ .	VRAI	FAUX
6) $f (x) > 3$ pour tout x de $] - 2; + \infty [$ . Pour tout x de $] - 2; + \infty [$ , $\begin{matrix} f (x) - 3 & = & \frac{1}{x + 2} \end{matrix}$ Or $x > - 2 \Leftrightarrow x + 2 > 0$ . Donc $\frac{1}{x + 2} > 0$ . D'où $\begin{matrix} f (x) - 3 > 0 & \Leftrightarrow & f (x) > 3 \end{matrix}$	VRAI	FAUX
7) $f' (- 1) = - 1$ . f est une fonction définie sur $] - 2; + \infty [$ par $f (x) = 3 + \frac{1}{x + 2}$ . f est dérivable sur $] - 2; + \infty [$ et $f' (x) = - \frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$ . D'où $\begin{matrix} f' (- 1) & = & - \frac{1}{{(- 1 + 2)}^{2}} & = & - 1 \end{matrix}$	VRAI	FAUX
8) La fonction g définie sur $] - 2; + \infty [$ par $g (x) = \ln [f (x)]$ est décroissante. Pour tout x de $] - 2; + \infty [$ , $f' (x) = - \frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$ . Donc $f' (x) < 0$ . Par conséquent, la fonction f est décroissante. D'autre part, $f (x) > 3$ pour tout x de $] - 2; + \infty [$ . D'après le théorème : Les fonctions u et $\ln u$ ont les mêmes variations sur un intervalle où la fonction u est strictement positive. La fonction g définie sur $] - 2; + \infty [$ par $g (x) = \ln [f (x)]$ est décroissante	VRAI	FAUX

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