sujet : amérique du nord

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

partie I

1. Dessiner un arbre pondéré représentant la situation.

   Parmi les personnes qui entrent dans le magasin :

   • 90 % entrent avec le bon publicitaire donc $p\left(B\right)=\mathrm{0,9}$.
   • 90 % entrent avec le bon publicitaire. Parmi elles, 10 % achètent un salon donc $p_B\left(S\right)=\mathrm{0,1}$.
   • Parmi les personnes qui entrent sans bon publicitaire, 80 % achètent un salon donc $p_{\overline{B}}\left(S\right)=\mathrm{0,8}$.

   D'où l'arbre pondéré représentant la situation :

   L'arbre est complété à l'aide de la règle des nœuds.Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1.

2. À l'aide de B, $\overline{B}$, S, $\overline{S}$ traduire les évènements suivants et calculer leur probabilité à ${10}^{-2}$ près ;

   1. la personne n'achète pas de salon sachant qu'elle est venue avec un bon publicitaire ;

      La personne n'achète pas de salon sachant qu'elle est venue avec un bon publicitaire est l'évènement $\overline{S}$ sachant que l'évènement B est réalisé et $$p_B\left(\overline{S}\right)=1-p_B\left(S\right)=1-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}$$

      La probabilité que la personne n'achète pas de salon sachant qu'elle est venue avec un bon publicitaire est $p_B\left(\overline{S}\right)=\mathrm{0,9}$.

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   2. la personne achète un salon ;

      Les évènements B et S sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{lll}p\left(S\right)& =& p\left(S\cap B\right)+p\left(S\cap \overline{B}\right)\\ & =& p_B\left(S\right)\times p\left(B\right)+p_{\overline{B}}\left(S\right)\times p\left(\overline{B}\right)\\ & =& \mathrm{0,1}\times \mathrm{0,9}+\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,1}\\ & =& \mathrm{0,17}\end{array}$$

      La probabilité que la personne achète un salon est $p\left(S\right)=\mathrm{0,17}$.

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   3. la personne est venue avec un bon publicitaire sachant qu'elle a acheté un salon.

      La personne est venue avec un bon publicitaire sachant qu'elle a acheté un salon est l'évènement B sachant que l'évènement S est réalisé. La probabilité conditionnelle $p_S\left(B\right)$ est $$\begin{array}{lll}{p}_S\left(B\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(S\cap B\right)}{p\left(S\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,09}}{\mathrm{0,17}}}\\ & \approx & \mathrm{0,53}\end{array}$$

      Arrondie à ${10}^{-2}$ près, la probabilté $p_S\left(B\right)$ que la personne soit venue avec un bon publicitaire sachant qu'elle a acheté un salon est 0,53.

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partie II

Le bon publicitaire et le cadeau associé coûtent 15 € au magasin. Un salon vendu rapporte 500 € au magasin s'il est vendu sans bon publicitaire.

1. Compléter le tableau suivant qui donne la loi de probabilité du bénéfice réalisé par le magasin selon la situation de la personne entrant.

   Déterminons la loi de probabilité associée au bénéfice réalisé par le magasin selon la situation de la personne entrant :

   • La personne a un bon publicitaire et achète un salon soit un bénéfice de 485 € de probabilité $$p\left(S\cap B\right)=\mathrm{0,09}$$

   • La personne a un bon publicitaire et n'achète pas un salon soit une perte de 15 € de probabilité $$p\left(B\cap \overline{S}\right)=p_B\left(\overline{S}\right)\times p\left(B\right)=\mathrm{0,9}\times \mathrm{0,9}=\mathrm{0,81}$$

   • La personne n'a pas de bon publicitaire et achète un salon soit un bénéfice de 500 € de probabilité $$p\left(S\cap \overline{B}\right)=\mathrm{0,08}$$

   • La personne n'a pas de bon publicitaire et n'achète pas un salon soit un bénéfive nul de de probabilité $$p\left(\overline{S}\cap \overline{B}\right)=1-\left(\mathrm{0,09}+\mathrm{0,81}+\mathrm{0,08}\right)=\mathrm{0,02}$$

   D'où la loi de probabilité du bénéfice réalisé par le magasin selon la situation de la personne entrant

   Situation de la personne entrant	La personne a un bon publicitaire et achète un salon	La personne a un bon publicitaire et n'achète pas un salon	La personne n'a pas de bon publicitaire et achète un salon	La personne n'a pas de bon publicitaire et n'achète pas un salon
   Bénéfice réalisé par le magasin en euros	485	− 15	500	0
   Probabilité	0,09	0,81	0,08	0,02

2. Calculer le bénéfice moyen du magasin réalisé par personne entrant.

   Pour un grand nombre de clients, le bénéfice moyen du magasin réalisé par personne entrant est égal à l'espérance mathématique Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques $x_i$. L'espérance mathématique de cette loi est le nombre réel μ :$$\mu =x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i}$$E de la loi de probabilité du bénéfice réalisé par le magasin selon la situation de la personne entrant :$$E=\mathrm{0,09}\times 485+\mathrm{0,81}\times \left(-15\right)+\mathrm{0,08}\times 500+\mathrm{0,02}\times 0=\mathrm{71,5}$$

   Le bénéfice moyen que le magasin peut espérer réaliser par personne entrant est de 71,5 €.

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3. Le directeur pense changer la valeur du cadeau offert. Soit x le prix de revient, en euros, du nouveau bon publicitaire. Calculer, dans ce cas, l'espérance E de la loi de probabilité du bénéfice du magasin en fonction de x.

   Soit x le prix de revient, en euros, du nouveau bon publicitaire. La loi de probabilité du bénéfice réalisé par le magasin selon la situation de la personne entrant est

   Situation de la personne entrant	La personne a un bon publicitaire et achète un salon	La personne a un bon publicitaire et n'achète pas un salon	La personne n'a pas de bon publicitaire et achète un salon	La personne n'a pas de bon publicitaire et n'achète pas un salon
   Bénéfice réalisé par le magasin en euros	$500-x$	$-x$	500	0
   Probabilité	0,09	0,81	0,08	0,02

   L'espérance mathématique de la loi de probabilité du bénéfice réalisé par le magasin selon la situation de la personne entrant est : $$E\left(x\right)=\mathrm{0,09}\times \left(500-x\right)+\mathrm{0,81}\times \left(-x\right)+\mathrm{0,08}\times 500+\mathrm{0,02}\times 0=85-\mathrm{0,9}x$$

   L'espérance de la loi de probabilité du bénéfice du magasin en fonction de x est définie par $E\left(x\right)=85-\mathrm{0,9}x$

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4. Le directeur souhaite réaliser 76 € de bénéfice moyen par personne entrant. Quel doit être le prix de revient x du nouveau bon publicitaire ?

   Le prix de revient x du nouveau bon publicitaire est solution de l'équation $E\left(x\right)=76$ soit $$\begin{array}{ccc}85-\mathrm{0,9}x=76& \iff & x=10\end{array}$$

   Avec un prix de revient du bon publicitaire de 10 €, le directeur peut espérer réaliser 76 € de bénéfice moyen par personne entrant.

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