sujet : amérique du nord

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties I et II sont indépendantes.

partie I   (calculs exacts demandés)

Un automobiliste passe successivement aux deux intersections "a" et " b".

1. Calculer la probabilité qu'à son passage, les deux feux soient verts.

   La probabilité qu'à son passage, les deux feux soient verts est la probabilité de l'évènement A et B.

   Or les feux ne sont pas synchronisés et fonctionnent de manière indépendante alors les évènements A et B sont indépendants donc $$\begin{array}{lll}p\left(A\cap B\right)& =& p\left(A\right)\times p\left(B\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3}{8}}\end{array}$$

   La probabilité qu'à son passage, les deux feux sont verts est égale à ${\displaystyle \frac{3}{8}}$.

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2. Calculer la probabilité qu'à son passage, il rencontre au moins un feu vert.

   L'évènement C "rencontrer au moins un feu vert" est l'évènement contraire de l'évènement "les deux feux ne sont pas verts". Or $$\begin{array}{lll}p\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)& =& p\left(\overline{A}\right)\times p\left(\overline{B}\right)\\ & =& \left(1-p\left(A\right)\right)\times \left(1-p\left(B\right)\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{8}}\end{array}$$

   Donc $$\begin{array}{cccc}p\left(C\right)& =& 1-p\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)& =& {\displaystyle \frac{7}{8}}\end{array}$$

   La probabilité qu'à son passage, il rencontre au moins un feu vert est égale à ${\displaystyle \frac{3}{8}}$.

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partie II   (résultats demandés à ${10}^{-2}$ près)

1. 1. Construire un graphe probabiliste pour décrire cette situation.

      Il s'agit de représenter un système pouvant se trouver dans trois états V (vert), O (orange) et R (rouge) par un graphe dont les sommets sont les états du système, et où l'on associe à chaque transition de l'état i vers l'état j, une arête orientée, pondérée par la probabilité conditionnelle d'être dans l'état j à l'instant $n+1$ sachant que l'on est dans l'état i à l'instant n.

      Déterminons les probabilités conditionnelles d'être dans l'état j à l'instant $n+1$ sachant que l'on est dans l'état i à l'instant n.

      • Si le feu est vert, il le sera à l'intersection suivante avec la probabilité 0,9 ou sera rouge avec la probabilité 0,05. D'où

        la probabilité d'être dans l'état V à l'instant $n+1$ sachant que l'on est dans l'état V à l'instant n est égale à 0,9 ;
        la probabilité d'être dans l'état R à l'instant $n+1$ sachant que l'on est dans l'état V à l'instant n est égale à 0,05 ;
        la probabilité d'être dans l'état O à l'instant $n+1$ sachant que l'on est dans l'état V à l'instant n est égale à $$1-\left(\mathrm{0,9}+\mathrm{0,05}\right)=\mathrm{0,05}$$

      • Si le feu est orange, il le sera à l'intersection suivante avec la probabilité 0,1 ou sera vert avec la probabilité 0,8. D'où

        la probabilité d'être dans l'état O à l'instant $n+1$ sachant que l'on est dans l'état O à l'instant n est égale à 0,1 ;
        la probabilité d'être dans l'état V à l'instant $n+1$ sachant que l'on est dans l'état O à l'instant n est égale à 0,8 ;
        la probabilité d'être dans l'état R à l'instant $n+1$ sachant que l'on est dans l'état O à l'instant n est égale à $$1-\left(\mathrm{0,8}+\mathrm{0,1}\right)=\mathrm{0,1}$$

      • Si le feu est rouge, il le sera à l'intersection suivante avec la probabilité 0,5 ou sera orange avec la probabilité 0,05. D'où

        la probabilité d'être dans l'état R à l'instant $n+1$ sachant que l'on est dans l'état R à l'instant n est égale à 0,5 ;
        la probabilité d'être dans l'état O à l'instant $n+1$ sachant que l'on est dans l'état R à l'instant n est égale à 0,05 ;
        la probabilité d'être dans l'état V à l'instant $n+1$ sachant que l'on est dans l'état R à l'instant n est égale à $$1-\left(\mathrm{0,5}+\mathrm{0,05}\right)=\mathrm{0,45}$$

      Le graphe probabiliste est :

   2. Donner la matrice de transition M complétée de ce graphe : $M=\left(\begin{array}{lcl}\cdots & \mathrm{0,05}& \mathrm{0,05}\\ \mathrm{0,8}& \cdots & \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,45}& \cdots & \mathrm{0,5}\end{array}\right)$

      En considérant les sommets dans l'ordre V, O, R la matrice de transition M de ce graphe est : $$M=\left(\begin{array}{lll}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,05}& \mathrm{0,05}\\ \mathrm{0,8}& \mathrm{0,1}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,45}& \mathrm{0,05}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)$$

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2. 1. Si le premier feu rencontré est vert, donner la matrice $P_1$ de l'état initial puis calculer $P_2$.

      Si le premier feu rencontré est vert, alors il le sera à l'intersection suivante avec la probabilité 0,9 ou sera rouge avec la probabilité 0,05 ou sera orange avec la probabilité $$1-\left(\mathrm{0,9}+\mathrm{0,05}\right)=\mathrm{0,05}$$

      Si le premier feu rencontré est vert, alors $P_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right)$ et $P_2=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,05}& \mathrm{0,05}\end{array}\right)$

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   2. On donne $P_3=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,87}& \mathrm{0,05}& \mathrm{0,08}\end{array}\right)$. Quelle est la probabilité que le quatrième feu soit vert ?

      $$\begin{array}{ccccccc}{P}_4& =& P_{3}M& =& \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,87}& \mathrm{0,05}& \mathrm{0,08}\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,05}& \mathrm{0,05}\\ \mathrm{0,8}& \mathrm{0,1}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,45}& \mathrm{0,05}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,859}& \mathrm{0,0525}& \mathrm{0,0885}\end{array}\right)\end{array}$$

      Soit avec des résultats arrondis à ${10}^{-2}$ près, $P_4=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,86}& \mathrm{0,05}& \mathrm{0,09}\end{array}\right)$

      Arrondie à ${10}^{-2}$ près, la probabilité que le quatrième feu soit vert est égale à 0,86.

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3. Si le premier feu rencontré est rouge, donner la matrice $P_1$ de l'état initial puis calculer $P_2$.

   Si le premier feu rencontré est rouge, il le sera à l'intersection suivante avec la probabilité 0,5 ou sera orange avec la probabilité 0,05 ou sera vert avec la probabilité $$1-\left(\mathrm{0,5}+\mathrm{0,05}\right)=\mathrm{0,45}$$

   Si le premier feu rencontré est rouge, alors $P_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right)$ et $P_2=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,45}& \mathrm{0,05}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)$

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4. On remarque que, quelle que soit la couleur du premier feu rencontré, on obtient à partir d'un certain rang n : $P_n=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,85}& \mathrm{0,05}& \mathrm{0,10}\end{array}\right)$.
   Donner une interprétation concrète de ce résultat.

   À partir de la n-ième intersection, les probabilités se stabilisent. À chaque intersection, la probabilité de rencontrer un feu vert est 0,85, celle de rencontrer un feu orange est 0,05 et celle de rencontrer un feu rouge est 0,1.

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