Baccalauréat juin 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du nord

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Rappel : Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction eu est dérivable sur I et (eu)'=u'eu.

Un transporteur, s'occupant de voyages organisés, achète en l'an 2000 (instant initial t=0), un autocar nécessitant un investissement initial de 200 milliers d'euros.

partie a

Cet investissement se déprécie. Sa dépréciation cumulée, en milliers d'euros, à l'instant t, mesurée en années, est notée D(t).

On pose D(t)=200(1-e-0,086t) pour tout réel t de l'intervalle I=[0;13]. La courbe représentative de D dans le plan rapporté à un repère (O;𝚤,𝚥) est donnée ci-dessous.

Courbe représentative de la fonction D : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Déterminer graphiquement au cours de quelle année l'investissement aura perdu 60 % de sa valeur (faire apparaître sur le graphique les tracés qui permettent d'obtenir la réponse).

Pour un investissement initial de 200 milliers d'euros, le montant en milliers d'euros d'une perte 60 % est 200×60100=120

Graphiquement, l'investissement aura perdu 60 % de sa valeur à l'instant t, mesurée en années, abscisse du point de la courbe d'ordonnée 120. Soit environ 10,6 années après l'année de l'achat.

C'est au cours de l'année 2010 que l'investissement aura perdu 60 % de sa valeur.


partie b

Le transporteur veut revendre l'autocar. On note V(t) la valeur de l'autocar l'année t, 0t13.

  1. Vérifier que V(t)=200e-0,086t.

    Le prix de vente de l'autocar, après t années d'exploitation, est égal au prix d'achat diminué de la dépréciation.

    Soit exprimé en milliers d'euros, V(t)=200-D(t)=200-200(1-e-0,086t)=200-200+200e-0,086t=200e-0,086t

    Ainsi, le prix de vente exprimé en milliers d'euros est donné par la relation V(t)=200e-0,086t avec 0t13.


  2. Étudier le sens de variation de V sur [0;13].

    Les fonctions u et eu ont les mêmes variations, sur tout intervalle où la fonction u est définie.

    La fonction affine t-0,086t est strictement décroissante sur .

    Donc sur l'intervalle [0;13] la fonction V définie par V(t)=200e-0,086t est strictement décroissante.


  3. Combien peut-on espérer revendre l'autocar au bout de 13 ans de service ? (au millier d'euros près).

    V(13)=200e-0,086×1365,4

    Au bout de 13 ans de service, on espérer revendre l'autocar 65 milliers d'euros.


  4. Au cours de quelle année l'autocar a-t-il perdu la moitié de sa valeur ?

    L'autocar perd la moitié de sa valeur lorsque son prix de vente est de 100 milliers d'euros. V(t)=100200e-0,086t=100e-0,086t=0,5-0,086t=ln0,5t=-ln0,50,086Soitt8,06

    L'autocar perd la moitié de sa valeur au cours de l'année 2008.


partie c

On estime que les recettes nettes (en milliers d'euros) procurées par l'exploitation de cet autocar, hors dépréciation du véhicule, sont données à l'instant t réel de l'intervalle [0;13] par R(t)=110(5+t-5e0,1t).

    1. Calculer la dérivée R de la fonction R ; étudier son signe sur [0;13] et construire le tableau de variation de R.

      Sur [0;13], R(t)=110(1-5×0,1×e0,1t)R(t)=110(1-0,5e0,1t)

      La dérivée de la fonction R est la fonction définie sur [0;13] par R(t)=110(1-0,5e0,1t)


      Étudions le signe de la dérivée : R(t)<0110(1-0,5e0,1t)<01-0,5e0,1t<0-0,5e0,1t<-1e0,1t>20,1t>ln2t>10ln2

      D'où le tableau des variations de R :

      t1 10ln2 13
      R(t)+0||
      R(t) fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    2. En déduire que les recettes nettes sont maximales pour une valeur t0 de t dont on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée arrondie à l'unité près.

      D'après les variations de la fonction R, les recettes nettes sont maximales pour t=10ln2 soit arrondie à l'unité près t7.


    3. Construire la courbe représentative de la fonction R, dans le même repère que celle de D après avoir complété le tableau de valeurs où l'on arrondira R(t) à l'entier le plus proche.

      t012468101113
      D(t)01632588199115122135
      R(t)05299169208206155108− 38

      Courbes représentatives des fonctions D et R : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. À tout instant, la différence R(t)-D(t) représente l'exploitation E(t) de l'autocar.

    Compléter le tableau, utiliser le graphique ou les tableaux de valeurs de D, R et E pour répondre aux questions suivantes :

    t012468101113
    D(t)01632588199115122135
    R(t)05299169208206155108− 38
    E(t)0366711112710740− 14− 173

    Remarque :
    Si on calcule la différence R(t)-D(t)=110(5+t-5e0,1t)-200(1-e-0,086t) avant d'arrondir on trouve :E(8)106E(11)-15

    1. Au cours de quelle année l'exploitation de cet autocar est-elle la plus profitable ?

      L'exploitation de cet autocar est la plus profitable quand la différence E(t)=R(t)-D(t) est maximale. Avec le graphique ou avec les tableaux de valeurs de D, R et E, il semble que cette différence est maximale pour une valeur de t voisine de 6. C'est à dire que l'exploitation de cet autocar est la plus profitable entre la fin de l'année 2005 et le début de l'année 2006.

      Or que ce soit à partir du tableau (E(5,9)127 et E(6,1)127) ou avec un graphique tracé manuellement, il est difficile de faire un choix. Donc les deux réponses sont possibles.

      L'exploitation de cet autocar est la plus profitable au cours de l'année 2005 ou bien au cours de l'année 2006.


    2. À partir de quelle année l'exploitation de cet autocar conduit-elle à un déficit ?

      L'exploitation de cet autocar conduit à un déficit quand la différence E(t)=R(t)-D(t) est négative.

      D'après le graphique (ou d'après les tableaux de valeurs), l'exploitation de cet autocar conduit à un déficit à partir de l'année 2010.



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