Baccalauréat juin 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du nord

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Historiquement, on avait décidé de numéroter les planètes du système solaire suivant leur distance moyenne au Soleil. Ainsi, on notait :

Mercure = 1 ; Vénus = 2 ; Terre = 3 ; Céres = 5 ; Jupiter = 6 ; Saturne = 7 ; Uranus = 8.

On considère la série statistique double ${(i; d_{i})}_{1 ⩽ i ⩽ 8}$ où i représente le numéro d'ordre de la planète et $d_{i}$ sa distance au soleil (en millions de km) ;
$(1; 57,94)$ , $(2; 108,27)$ , $(3; 149,60)$ , $(4; 228,06)$ , $(5; 396,44)$ , $(6; 778,73)$ , $(7; 1427,7)$ , $(8; 2872,4)$ .

Indiquer, à l'aide d'une phrase, la signification du couple $(3; 149,60)$ .
Dans la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{- 3}$ près.
Compléter le tableau suivant
i 1 2 3 4 5 6 7 8
$d_{i}$ 57,94 108,27 149,60 228,06 396,44 778,73 1 427,7 2 872,4
$d_{i} - d_{1}$ 0 170,12
$y_{i} = \ln (d_{i} - d_{1})$ ///////// 5,137
1. Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement (D), de la série $(i; y_{i})$ , avec i compris entre 2 et 8.
  La fonction ln n'est pas définie en 0. Pour éviter de bloquer la calculatrice, saisir la série $(i; y_{i})$ , avec i compris entre 2 et 8.
2. Construire le nuage de points $(i; y_{i})$ , avec i compris entre 2 et 8, et la droite (D) dans un repère orthonormal, unités : 2 cm.
1. Déduire de ce qui précède que l'on peut modéliser l'expression de $d_{i}$ , en fonction de i, avec i compris entre 2 et 8, sous la forme $d_{i} = 57,94 + 12,17 \times {1,966}^{i}$ .
  Pour tout réel $x > 0$ , $y = \ln (x) \Leftrightarrow x = e^{y}$
  Pour tous réels a et b : $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ .
2. Calculer la distance moyenne probable au soleil d'une planète numérotée 9.

(Ce résultat est connu sous le nom de loi de Titius-Bode du nom de deux astronomes allemands qui permirent la découverte de Neptune № 9 en 1848. La loi tomba ensuite en désuétude mais l'ajustement étudié demeure excellent si l'on inclut « Pluton »… La planète naine en № 10).

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i	1	2	3	4	5	6	7	8
$d_{i}$	57,94	108,27	149,60	228,06	396,44	778,73	1 427,7	2 872,4
$d_{i} - d_{1}$	0			170,12
$y_{i} = \ln (d_{i} - d_{1})$	/////////			5,137