Baccalauréat juin 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du nord

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Historiquement, on avait décidé de numéroter les planètes du système solaire suivant leur distance moyenne au Soleil. Ainsi, on notait :

Mercure = 1 ; Vénus = 2 ; Terre = 3 ; Céres = 5 ; Jupiter = 6 ; Saturne = 7 ; Uranus = 8.

On considère la série statistique double ${(i; d_{i})}_{1 ⩽ i ⩽ 8}$ où i représente le numéro d'ordre de la planète et $d_{i}$ sa distance au soleil (en millions de km) ;
$(1; 57,94)$ , $(2; 108,27)$ , $(3; 149,60)$ , $(4; 228,06)$ , $(5; 396,44)$ , $(6; 778,73)$ , $(7; 1427,7)$ , $(8; 2872,4)$ .

Indiquer, à l'aide d'une phrase, la signification du couple $(3; 149,60)$ .
Le couple $(3; 149,60)$ signifie que la Terre est à une distance moyenne de 149,6 millions de km du Soleil.
Dans la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{- 3}$ près.
Compléter le tableau suivant
i 1 2 3 4 5 6 7 8
$d_{i}$ 57,94 108,27 149,60 228,06 396,44 778,73 1 427,7 2 872,4
$d_{i} - d_{1}$ 0 50,33 91,66 170,12 338,5 720,79 1369,76 2814,46
$y_{i} = \ln (d_{i} - d_{1})$ /////// 3,919 4,518 5,137 5,825 6,580 7,222 7,943
Résultats arrondis à $10^{- 3}$ près.
1. Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement (D), de la série $(i; y_{i})$ , avec i compris entre 2 et 8.
  Une équation de la droite d'ajustement de y en i par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : $y = 0,676 i + 2,499$ (coefficients arrondis à $10^{- 3}$ près).
2. Construire le nuage de points $(i; y_{i})$ , avec i compris entre 2 et 8, et la droite (D) dans un repère orthonormal, unités : 2 cm.
1. Déduire de ce qui précède que l'on peut modéliser l'expression de $d_{i}$ , en fonction de i, avec i compris entre 2 et 8, sous la forme $d_{i} = 57,94 + 12,17 \times {1,966}^{i}$ .
  $y = 0,676 i + 2,499$ et pour i compris entre 2 et 8, $y_{i} = \ln (d_{i} - 57,94)$ donc pour une distance $d_{i} > 57,94$ , $\begin{array}{l} \ln (d_{i} - 57,94) = 0,676 i + 2,499 & \Leftrightarrow & d_{i} - 57,94 = e^{0,676 i + 2,499} \\ \Leftrightarrow & d_{i} = e^{0,676 i + 2,499} + 57,94 \\ \Leftrightarrow & d_{i} = e^{2,499} \times {(e^{0,676})}^{i} + 57,94 \end{array}$
  Or $e^{2,499} \approx 12,17$ et $e^{0,676} \approx 1,966$ (arrondis à $10^{- 3}$ près) donc
  avec i compris entre 2 et 8, on peut modéliser $d_{i}$ , sous la forme $d_{i} = 57,94 + 12,17 \times {1,966}^{i}$ .
2. Calculer la distance moyenne probable au soleil d'une planète numérotée 9.
  En admettant que ce résultat est valable pour les planètes dont la distance moyenne au soleil est supérieure à celle de Mercure, la distance moyenne probable au soleil d'une planète numérotée 9 est $d_{9} = 57,94 + 12,17 \times {1,966}^{9} \approx 5397,952$
  La distance moyenne probable au soleil d'une planète numérotée 9 est de 5397,952 millions de km.

(Ce résultat est connu sous le nom de loi de Titius-Bode du nom de deux astronomes allemands qui permirent la découverte de Neptune № 9 en 1848. La loi tomba ensuite en désuétude mais l'ajustement étudié demeure excellent si l'on inclut « Pluton »… La planète naine en № 10).

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i	1	2	3	4	5	6	7	8
$d_{i}$	57,94	108,27	149,60	228,06	396,44	778,73	1 427,7	2 872,4
$d_{i} - d_{1}$	0	50,33	91,66	170,12	338,5	720,79	1369,76	2814,46
$y_{i} = \ln (d_{i} - d_{1})$	///////	3,919	4,518	5,137	5,825	6,580	7,222	7,943