sujet : amérique du nord

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Rappel : Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction ${\mathrm{e}}^u$ est dérivable sur I et $\left({\mathrm{e}}^u\right)\text{'}=u\text{'}{\mathrm{e}}^u$.

Un transporteur, s'occupant de voyages organisés, achète en l'an 2000 (instant initial $t=0$), un autocar nécessitant un investissement initial de 200 milliers d'euros.

partie a

Cet investissement se déprécie. Sa dépréciation cumulée, en milliers d'euros, à l'instant t, mesurée en années, est notée $D\left(t\right)$.

On pose $D\left(t\right)=200\left(1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,086}t}\right)$ pour tout réel t de l'intervalle $I=\left[0;13\right]$. La courbe représentative de D dans le plan rapporté à un repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ est donnée ci-dessous.

Déterminer graphiquement au cours de quelle année l'investissement aura perdu 60 % de sa valeur (faire apparaître sur le graphique les tracés qui permettent d'obtenir la réponse).

partie b

Le transporteur veut revendre l'autocar. On note $V\left(t\right)$ la valeur de l'autocar l'année t, $0⩽t⩽13$.

1. Vérifier que $V\left(t\right)=200{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,086}t}$.

   $V\left(t\right)=200-D\left(t\right)$

2. Étudier le sens de variation de V sur $\left[0;13\right]$.

   Les fonctions u et ${\mathrm{e}}^u$ ont les mêmes variations, sur tout intervalle où la fonction u est définie.

3. Combien peut-on espérer revendre l'autocar au bout de 13 ans de service ? (au millier d'euros près).

4. Au cours de quelle année l'autocar a-t-il perdu la moitié de sa valeur ?

partie c

On estime que les recettes nettes (en milliers d'euros) procurées par l'exploitation de cet autocar, hors dépréciation du véhicule, sont données à l'instant t réel de l'intervalle $\left[0;13\right]$ par $R\left(t\right)=110\left(5+t-5{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}t}\right)$.

1. 1. Calculer la dérivée $R\prime$ de la fonction R ; étudier son signe sur $\left[0;13\right]$ et construire le tableau de variation de R.

   2. En déduire que les recettes nettes sont maximales pour une valeur $t_0$ de t dont on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée arrondie à l'unité près.

   3. Construire la courbe représentative de la fonction R, dans le même repère que celle de D après avoir complété le tableau de valeurs où l'on arrondira $R\left(t\right)$ à l'entier le plus proche.

      t	0	1	2	4	6	8	10	11	13
      $D\left(t\right)$	0	16	32	58	81	99	115	122	135
      $R\left(t\right)$	0	52	99		208				− 38

2. À tout instant, la différence $R\left(t\right)-D\left(t\right)$ représente l'exploitation $E\left(t\right)$ de l'autocar.

   Compléter le tableau, utiliser le graphique ou les tableaux de valeurs de D, R et E pour répondre aux questions suivantes :

   t	0	1	2	4	6	8	10	11	13
   $D\left(t\right)$	0	16	32	58	81	99	115	122	135
   $R\left(t\right)$	0	52	99		208				− 38
   $E\left(t\right)$	0				127

   1. Au cours de quelle année l'exploitation de cet autocar est-elle la plus profitable ?

   2. À partir de quelle année l'exploitation de cet autocar conduit-elle à un déficit ?

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