sujet : France Métropolitaine

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Déterminer la probabilité de l'évènement N.

   L'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire est $\left\{\mathrm{B};\mathrm{N}\right\}$ . Or 45 % des parties ont été jouées avec les blancs d'où $$\begin{array}{ccc}p\left(\mathrm{B}\right)=\mathrm{0,45}& \text{et}& p\left(\mathrm{N}\right)=1-p\left(\mathrm{B}\right)=1-\mathrm{0,45}=\mathrm{0,55}\end{array}$$

   Ainsi, $p\left(\mathrm{N}\right)=\mathrm{0,55}$

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2. Représenter la situation par un arbre pondéré.

   Nous savons que :

   • 70 % des parties jouées avec les blancs ont été gagnantes, d'où $p_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{V}\right)=\mathrm{0,7}$

     25 % des parties jouées avec les blancs ont été perdantes, d'où $p_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{D}\right)=\mathrm{0,25}$

     Or une partie d'échecs se termine soit par la victoire des « blancs », soit par la victoire des « noirs », soit par un nul sans vainqueur donc $$\begin{array}{ccc}{p}_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{V}\right)+p_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{D}\right)+p_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{E}\right)=1& \text{D'où}& p_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{E}\right)=1-\left(\mathrm{0,7}+\mathrm{0,25}\right)=\mathrm{0,05}\end{array}$$

   • 4 % des parties jouées avec les noirs ont fini par un nul, d'où $p_{\mathrm{N}}\left(\mathrm{E}\right)=\mathrm{0,04}$

     pour les parties jouées avec les noirs, il y a eu autant de parties gagnées que perdues d'où $p_{\mathrm{N}}\left(\mathrm{V}\right)=p_{\mathrm{N}}\left(\mathrm{D}\right)$

     Comme $p_{\mathrm{N}}\left(\mathrm{V}\right)+p_{\mathrm{N}}\left(\mathrm{D}\right)+p_{\mathrm{N}}\left(\mathrm{E}\right)=1$, il s'ensuit que $$p_{\mathrm{N}}\left(\mathrm{V}\right)=p_{\mathrm{N}}\left(\mathrm{D}\right)={\displaystyle \frac{1-p_{\mathrm{N}}\left(\mathrm{E}\right)}{2}}={\displaystyle \frac{1-\mathrm{0,04}}{2}}=\mathrm{0,48}$$

   D'où l'arbre pondéré représentant la situation :

3. Justifier que la probabilité de l'évènement « La partie choisie est jouée avec les noirs et est gagnée » est égale à 0,264.

   $$\begin{array}{lll}p\left(\mathrm{N}\cap \mathrm{V}\right)& =& p_{\mathrm{N}}\left(\mathrm{V}\right)\times p\left(\mathrm{N}\right)\\ & =& \mathrm{0,48}\times \mathrm{0,55}\\ & =& \mathrm{0,264}\end{array}$$

   La probabilité que la partie choisie est jouée avec les noirs et est gagnée est égale à 0,264.

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4. Calculer la probabilité que la partie choisie se termine par une victoire.

   Les évènements B et N déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(V\right)=p\left(\mathrm{B}\cap \mathrm{V}\right)+p\left(\mathrm{N}\cap \mathrm{V}\right)$$

   Or $$\begin{array}{lll}p\left(\mathrm{B}\cap \mathrm{V}\right)& =& p_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{V}\right)\times p\left(\mathrm{B}\right)\\ & =& \mathrm{0,7}\times \mathrm{0,45}\\ & =& \mathrm{0,315}\end{array}$$

   Donc $$\begin{array}{lll}p\left(V\right)& =& p\left(\mathrm{B}\cap \mathrm{V}\right)+p\left(\mathrm{N}\cap \mathrm{V}\right)\\ & =& \mathrm{0,315}+\mathrm{0,264}\\ & =& \mathrm{0,579}\end{array}$$

   La probabilité que que la partie choisie se termine par une victoire est égale à 0,579.

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5. Sachant que la partie choisie se termine par une victoire, calculer la probabilité qu'elle ait été jouée avec les noirs et donner sa valeur décimale arrondie au millième.

   La probabilité que la partie choisie ait été jouée avec les noirs sachant qu'elle se termine par une victoire est :$$\begin{array}{ccc}{p}_{\mathrm{V}}\left(\mathrm{N}\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(\mathrm{N}\cap \mathrm{V}\right)}{p\left(\mathrm{V}\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,264}}{\mathrm{0,579}}}\\ & \approx & \mathrm{0,456}\end{array}$$

   Arrondie au millième, la probabilité que la partie choisie ait été jouée avec les noirs sachant qu'elle se termine par une victoire est 0,456.

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