sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Le tableau suivant donne l'évolution du montant des exportations de biens et services de la Chine exprimé en milliards de dollars constants, sur la période 2000-2005.

Source : La banque Mondiale

Année	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Rang de l'année : $x_i$	1	2	3	4	5	6
Montant des exportations en milliards de dollars constants: $y_i$	280	299	365	485	656	837

1. Le nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$ est représenté ci-dessous dans un repère orthogonal.
   Un ajustement affine semble-t-il adapté ? Justifier.

   Rang de l'année : $x_i$	1	2	3	4	5	6
   Montant des exportations en milliards de dollars constants: $y_i$	280	299	365	485	656	837
   Accroissement moyen annuel des exportations		19	66	120	171	181

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   D'une année sur l'autre, l'accroissement moyen des exportations augmente, un ajustement affine n'est pas adapté.

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2. On pose, pour i variant de 1 à 6, $z_i=\ln y_i$.

   1. Recopier et compléter le tableau suivant avec les valeurs de $z_i$ arrondies au centième :

      $x_i$	1	2	3	4	5	6
      $z_i=\ln y_i$	5,63	5,70	5,90	6,18	6,49	6,73

   2. On décide d'envisager un ajustement affine de la série $\left(x_i;y_i\right)$, pour i variant de 1 à 6.
      Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z=\ln y$ en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au millième.

      Une équation de la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : $$z=\mathrm{0,233}x+\mathrm{5,29}$$ (coefficients arrondis arrondis au millième).

      ---

   3. En déduire une relation entre y et x de la forme $y=A{\mathrm{e}}^{Bx}$ , A étant arrondi l'unité et B au millième.

      Pour tout réel $y>0$, $z=\ln y\iff y=\exp z$ d'où $$\begin{array}{lll}y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,233}x+\mathrm{5,29}}& \iff & y={\mathrm{e}}^{\mathrm{5,29}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,233}x}\\ & \iff & y\approx \mathrm{198,3}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,233}x}\end{array}$$

      Ainsi, une approximation du montant des exportations en milliards de dollars constants y en fonction du rang x de l'année est $y=198{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,233}x}$

      ---

   Dans la question suivante, toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.

3. On admet que cet ajustement reste fiable à moyen terme, avec $A=198$ et $B=\mathrm{0,233}$.

   1. Estimer, par le calcul, le montant des exportations de biens et services de la Chine pour l'année 2008 arrondi au milliard de dollars constants.

      Le rang de l'année 2008 est 9. D'où une estimation du montant des exportations en milliards de dollars : $$\begin{array}{ccc}198\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,233}\times 9}& \approx & 1612\end{array}$$

      Le montant des exportations de la Chine pour l'année 2008 serait de 1612 milliards de dollars.

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   2. Selon ce modèle, peut-on affirmer que le pourcentage d'augmentation des exportations de biens et services de la Chine entre les années 2000 et 2008 sera supérieur à 450 % ? Justifier votre réponse.

      Le taux du pourcentage d'augmentation des exportations de la Chine entre les années 2000 et 2008 est : $${\displaystyle \frac{1612-280}{280}}\times 100\approx \mathrm{475,7}$$

      Ainsi, le pourcentage d'augmentation des exportations de biens et services de la Chine entre les années 2000 et 2008 sera supérieur à 450 %.

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