sujet : France Métropolitaine

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. 1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.

      Il s'agit de représenter un système pouvant se trouver dans deux états A et B par un graphe dont les sommets sont les états du système, et où l'on associe à chaque transition de l'état i vers l'état j, une arête orientée, pondérée par la probabilité conditionnelle d'être dans l'état j la semaine $n+1$ sachant que l'on est dans l'état i la semaine n.

      Notons $A_n$ l'évènement « L'employé travaille le matin la semaine n » et $B_n$ l'évènement « L'employé travaille l'après-midi la semaine n ».

      • 20 % des employés travaillant le matin une semaine donnée travaillent l'après-midi la semaine suivante alors , $$\begin{array}{ccc}{p}_{A_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,2}& \text{d'où}& p_{A_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,8}\end{array}$$

        Ainsi, la probabilité d'être dans l'état A la semaine $n+1$ sachant que l'on est dans l'état A la semaine n est égale à 0,8 et la probabilité d'être dans l'état B la semaine $n+1$ sachant que l'on est dans l'état A la semaine n est égale à 0,2.

      • 5 % des employés travaillant l'après-midi une semaine donnée travaillent aussi l'après-midi la semaine suivante alors , $$\begin{array}{ccc}{p}_{B_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,05}& \text{d'où}& p_{B_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,95}\end{array}$$

        Ainsi, la probabilité d'être dans l'état A la semaine $n+1$ sachant que l'on est dans l'état B la semaine n est égale à 0,95 et la probabilité d'être dans l'état B la semaine $n+1$ sachant que l'on est dans l'état B la semaine n est égale à 0,05.

      Le graphe probabiliste qui représente la situation est donc :

   2. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

      La matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets est : $\mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,95}& \mathrm{0,05}\end{array}\right)$

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2. La semaine notée 0, semaine de la décision, 60 % des employés travaillent le matin et les autres l'après-midi.

   1. Donner la matrice ligne notée ${\mathrm{P}}_0$ décrivant l'état initial des employés dans cette entreprise.

      La semaine de la décision, 60 % des employés travaillent le matin et les autres l'après-midi alors ${\mathrm{P}}_0=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)$

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   2. Calculer la probabilité qu'un employé travaille le matin lors de la semaine 2, deuxième semaine après la prise de décision.

      La dexième semaine après la prise de décision, l'état probabiliste ${\mathrm{P}}_2={\mathrm{P}}_0{\mathrm{M}}^2$. Soit $$\begin{array}{lll}{\mathrm{P}}_2& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{ll}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,95}& \mathrm{0,05}\end{array}\right)}^2\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ll}\mathrm{0,83}& \mathrm{0,17}\\ \mathrm{0,8075}& \mathrm{0,1925}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,821}& \mathrm{0,179}\end{array}\right)\end{array}$$

      L'état probabiliste ${\mathrm{P}}_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,821}& \mathrm{0,179}\end{array}\right)$ donc la probabilité qu'un employé travaille le matin la deuxième semaine après la prise de décision est égale à 0,821.

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3. Soit $\mathrm{P}=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ l'état probabiliste stable.

   1. Démontrer que x et y vérifient l'égalité $x=\mathrm{0,8}x+\mathrm{0,9}y$.

      La matrice de transition M ne comportant pas de 0 , l'état ${\mathrm{P}}_n$ converge vers un état stable P indépendant de l'état initial.
      P est solution de l'équation : ( voir le théorème )Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0. Alors :
      —  l'état $P_n$ à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial $P_0$ ;
      —  de plus, P est l'unique solution de l'équation $X=X\times M$ où $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $x+y=1$.$$\mathrm{P}=\mathrm{P}\times \mathrm{M}$$

      Soit $$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,95}& \mathrm{0,05}\end{array}\right)& \iff & \left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}x+\mathrm{0,95}y& \mathrm{0,2}x+\mathrm{0,05}y\end{array}\right)\end{array}$$ D'où x et y sont solutions du système $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{rcl}x& =& \mathrm{0,8}x+\mathrm{0,95}y\\ y& =& \mathrm{0,2}x+\mathrm{0,05}y\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& \mathrm{0,8}x+\mathrm{0,95}y\\ \mathrm{0,95}y& =& \mathrm{0,2}x\end{array}\end{array}$$

      Ainsi, x et y vérifient l'égalité $x=\mathrm{0,8}x+\mathrm{0,9}y$ .

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   2. Déterminer x et y.

      $\mathrm{P}=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ est un état probabiliste donc x et y vérifient l'égalité $x+y=1$. D'où x et y sont solutions du système $$\begin{array}{ccccccc}\{\begin{array}{rcl}x& =& \mathrm{0,8}x+\mathrm{0,95}y\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,95}y& =& 0\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{1,15}x& =& \mathrm{0,95}\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& {\displaystyle \frac{19}{23}}\\ y& =& {\displaystyle \frac{4}{23}}\end{array}\end{array}$$

      L'état probabiliste stable est donc $\mathrm{P}=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{19}{23}}& {\displaystyle \frac{4}{23}}\end{array}\right)$

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   3. Le souhait du directeur de cette entreprise est-il réalisable ? Justifier la réponse.

      Dans le cas d'un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0, l'état ${\mathrm{P}}_n$ à l'étape n converge vers un état stable P indépendant de l'état initial ${\mathrm{P}}_0$.

      Ainsi, à partir d'un certain nombre de semaines, la probabilité qu'un employé travaille le matin sera proche de ${\displaystyle \frac{19}{23}}\approx \mathrm{0,8261}$

      À partir d'un certain nombre de semaines, environ 82,6 % des employés travailleront le matin. Le souhait du directeur de cette entreprise est donc réalisable.

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4. On admet qu'un an après cette décision la probabilité qu'un employé travaille le matin est égale à ${\displaystyle \frac{19}{23}}$. On choisit alors quatre employés au hasard. Le grand nombre d'employés de l'entreprise permet d'assimiler ces choix à des tirages successifs indépendants avec remise.
   Déterminer la probabilité qu'au moins un des quatre employés travaille l'après-midi et donner sa valeur décimale arrondie au millième.

   Le grand nombre d'employés de l'entreprise permet d'assimiler le choix au hasard de quatre employés à des tirages successifs indépendants avec remise, il s'agit donc de la répétition de quatre épreuves de Bernoulli indépendantes.
   La loi de probabilité associée au nombre d'employés qui travaillent le matin est une loi binomiale de paramètres 4 et ${\displaystyle \frac{19}{23}}$.

   L'évènement Y « au moins un des quatre employés travaille l'après-midi » est l'évènement contraire de l'évènement X « les quatre employés travaillent le matin » $$\begin{array}{ccc}p\left(Y\right)={\left({\displaystyle \frac{19}{23}}\right)}^4& \text{donc}& p\left(X\right)=1-{\left({\displaystyle \frac{19}{23}}\right)}^4\approx \mathrm{0,534}\end{array}$$

   Arrondie au millième, la probabilité qu'au moins un des quatre employés travaille l'après-midi est 0,534.

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