sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On désigne par f la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par : $$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{5x-5}{{\mathrm{e}}^x}}$$ On nomme (C ) sa représentation graphique dans le plan (P) muni d'un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ d'unité graphique 2 cm.

1. Calculer $f\left(0\right)$.

   $f\left(0\right)={\displaystyle \frac{5\times 0-5}{{\mathrm{e}}^0}}$ Soit $f\left(0\right)=-5$

2. 1. Vérifier que, pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{5-{\displaystyle \frac{5}{x}}}{{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x}}}}$

      Pour tout réel x non nul, $$\begin{array}{ccccccc}{\displaystyle \frac{5x-5}{{\mathrm{e}}^x}}& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5x-5}{x}}}{{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x}}}}& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5x}{x}}-{\displaystyle \frac{5}{x}}}{{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x}}}}& =& {\displaystyle \frac{5-{\displaystyle \frac{5}{x}}}{{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x}}}}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{5-{\displaystyle \frac{5}{x}}}{{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x}}}}$.

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   2. En déduire la limite de la fonction f en $+\infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }5-{\displaystyle \frac{5}{x}}=5$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x}}=+\infty$ alors par quotient, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{5-{\displaystyle \frac{5}{x}}}{{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x}}}}=0$

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$. Donc l'axe des abscisses est asymptote à la courbe (C ) en $+\infty$.

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3. On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f.

   1. Démontrer que pour tout nombre réel x positif : $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-5x+10}{{\mathrm{e}}^x}}$.

      Sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, la fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $$\begin{array}{ccc}f={\displaystyle \frac{u}{v}}& \text{d'où}& f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}\end{array}$$

      Avec u et v fonctions définies sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par : $$\begin{array}{llll}& u\left(x\right)=5x-5& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=5\\ \text{et}& v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\end{array}$$

      Donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ : $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{5{\mathrm{e}}^x-\left(5x-5\right){\mathrm{e}}^x}{{\left({\mathrm{e}}^x\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{5-\left(5x-5\right)}{{\mathrm{e}}^x}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-5x+10}{{\mathrm{e}}^x}}\end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-5x+10}{{\mathrm{e}}^x}}$

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   2. Étudier le signe de la fonction $f\prime$.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$. Par conséquent, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $-5x+10$ sur $\left[0;+\infty \right[$ . D'où le tableau établissant le signe de $f\prime$ suivant les valeurs du réel x :

      x	0		2		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   3. Dresser le tableau de variations de la fonction f .

      Les variations de f, se déduisent de l'étude du signe de la dérivée f '

      x	0		2		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$	$-5$		$5{\mathrm{e}}^{-2}$		0

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      Calcul du maximum : $$f\left(2\right)={\displaystyle \frac{5\times 2-5}{{\mathrm{e}}^2}}=5{\mathrm{e}}^{-2}$$

4. Représenter graphiquement la courbe (C) dans le plan (P).

5. On note F la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par : $F\left(x\right)=-5x{\mathrm{e}}^{-x}$.

   1. Démontrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

      Dire que F est une primitive de f sur $\left[0;+\infty \right[$ signifie que pour tout réel x positif, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

      Pour tout réel x positif, posons $$\begin{array}{llll}& u\left(x\right)=-5x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=-5\\ \text{et}& v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$$

      Alors, la fonction $F=u\times v$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables et $F\prime =u\prime v+uv\prime$ . D'où $$\begin{array}{lll}F\prime \left(x\right)& =& -5\times {\mathrm{e}}^{-x}+\left(-5x\right)\times \left(-{\mathrm{e}}^{-x}\right)\\ & =& -5{\mathrm{e}}^{-x}+5x{\mathrm{e}}^{-x}\\ & =& \left(-5+5x\right){\mathrm{e}}^{-x}\\ & =& {\displaystyle \frac{-5+5x}{{\mathrm{e}}^x}}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x positif, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc F est une primitive de f sur $\left[0;+\infty \right[$.

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   2. On considère l'aire A, exprimée en cm², du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=4$.
      Hachurer ce domaine sur le graphique précédent.
      Calculer la valeur exacte de A, puis en donner une valeur approchée à 10⁻² près par défaut.

      La fonction f est dérivable donc continue.

      D'autre part, $f\left(1\right)=0$ et $f\left(4\right)={\displaystyle \frac{20-5}{{\mathrm{e}}^4}}=15{\mathrm{e}}^{-4}$. D'après l'étude des variations de la fonction f :

      • Sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ , f est croissante donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[1;2\right]$, $f\left(x\right)⩾f\left(1\right)$. Soit $f\left(x\right)⩾0$

      • Sur l'intervalle $\left[2;+\infty \right[$ , f est décroissante donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[2;4\right]$, $f\left(x\right)⩾f\left(4\right)$. Soit $f\left(x\right)⩾15{\mathrm{e}}^{-4}\Rightarrow f\left(x\right)>0$

      Ainsi, la fonction f est continue et positive sur l'intervalle $\left[1;4\right]$ alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire :Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

      L'aire, en unités d'aire, du domaine limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=4$ est égale à ${\displaystyle {\int }_1^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_1^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[F\left(x\right)\right]}_1^4}\\ & =& F\left(4\right)-F\left(1\right)\\ & =& \left(-5\times 4\times {\mathrm{e}}^{-4}\right)-\left(-5\times 1\times {\mathrm{e}}^{-1}\right)\\ & =& -{\displaystyle \frac{20}{{\mathrm{e}}^4}}+{\displaystyle \frac{5}{\mathrm{e}}}\\ & =& {\displaystyle \frac{5{\mathrm{e}}^3-20}{{\mathrm{e}}^4}}\end{array}$$

      Or l'unité d'aire est l'aire d'un carré de 2 cm de côté, soit 4 cm².

      L'aire A, exprimée en cm², du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=4$ est : $$A={\displaystyle \frac{20{\mathrm{e}}^3-80}{{\mathrm{e}}^4}}\approx \mathrm{5,89}$$

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