Baccalauréat septembre 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans le cadre de la restructuration de son entreprise, afin de garantir la stabilité du nombre d'emplois, le directeur souhaite qu'à long terme plus de 82 % de ses employés ne travaillent que le matin.
Pour cela, il décide que désormais :

On note :

    1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.

    2. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

  1. La semaine notée 0, semaine de la décision, 60 % des employés travaillent le matin et les autres l'après-midi.

    1. Donner la matrice ligne notée P0 décrivant l'état initial des employés dans cette entreprise.

    2. Calculer la probabilité qu'un employé travaille le matin lors de la semaine 2, deuxième semaine après la prise de décision.

  2. Soit P=(xy) l'état probabiliste stable.

    1. Démontrer que x et y vérifient l'égalité x=0,8x+0,9y.

      P est solution de l'équation P=P×M

    2. Déterminer x et y.

      P=(xy) est un état probabiliste donc x et y vérifient l'égalité x+y=1.

    3. Le souhait du directeur de cette entreprise est-il réalisable ? Justifier la réponse.

  3. On admet qu'un an après cette décision la probabilité qu'un employé travaille le matin est égale à 1923. On choisit alors quatre employés au hasard. Le grand nombre d'employés de l'entreprise permet d'assimiler ces choix à des tirages successifs indépendants avec remise.
    Déterminer la probabilité qu'au moins un des quatre employés travaille l'après-midi et donner sa valeur décimale arrondie au millième.

    L'évènement « au moins un des quatre employés travaille l'après-midi » est l'évènement contraire de l'évènement « les quatre employés travaillent le matin ».


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