Baccalauréat session 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Soit g une fonction définie et dérivable sur l'ensemble $] - \infty; - 5 [\cup] - 5; + \infty [$ . On appelle (C) la courbe représentative de g dans un repère donné du plan.On donne ci-dessous le tableau de variations de g :

Valeurs de x	$- \infty$		− 5			− 1	4		$+ \infty$
Variations de g	$- \infty$		$+ \infty$		$- \infty$		5		1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des huit affirmations ci-dessous, indiquer sur votre copie :
vrai ou faux ou les informations données ne permettent pas de répondre.
Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'apporte et n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l'exercice est 0.

Pour tout réel $x \in] - 1; + \infty [$ , $g (x) ⩽ 5$
D'après le tableau des variations, sur l'intervalle $] - 1; + \infty [$ le maximum de la fonction g est égal à 5. Donc Pour tout réel $x \in] - 1; + \infty [$ , $g (x) ⩽ g (4) \Leftrightarrow g (x) ⩽ 5$
La réponse exacte est :
vrai
Pour tout réel $x \in] - 5; 4]$ , $g' (x) ⩾ 0$ ( $g'$ désigne la fonction dérivée de g)
Sur l'intervalle $] - 5; 4]$ la fonction g est strictement croissante. Donc Pour tout réel $x \in] - 5; 4]$ , $g' (x) ⩾ 0$ .
La réponse exacte est :
vrai
La droite d'équation $x = 1$ est asymptote à la courbe (C) en $+ \infty$ .
$\lim_{x \to + \infty} g (x) = 1$ alors la droite d'équation $y = 1$ est asymptote à la courbe (C) en $+ \infty$ .
La réponse exacte est :
faux
La courbe (C) admet une droite asymptote en $- \infty$ .
$\lim_{x \to - \infty} g (x) = - \infty$ alors la courbe (C) admet une droite asymptote d'équation $y = a x + b$ en $- \infty$ si, et seulement si, $\lim_{x \to - \infty} g (x) - (a x + b) = 0$
La réponse exacte est :
les informations données ne permettent pas de répondre
On appelle f la fonction définie sur l'intervalle $] - 1; + \infty [$ par $f (x) = \ln [g (x)]$ où ln désigne la fonction logarithme népérien :
1. Pour tout réel $x \in [4; + \infty [$ , $f (x) ⩾ 0$ ;
  La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ . Donc pour tout réel $x \in [4; + \infty [$ , $\begin{matrix} 1 < g (x) ⩽ 5 & \Leftrightarrow & \ln 1 < \ln [g (x)] ⩽ \ln 5 \\ \Leftrightarrow & 0 < f (x) ⩽ \ln 5 \end{matrix}$
  La réponse exacte est :
  vrai
2. La fonction f est décroissante sur l'intervalle $[4; + \infty [$ ;
  Les fonctions g et $\ln g$ ont les mêmes variations sur tout intervalle où la fonction g est strictement positive.
  Or sur l'intervalle $[4; + \infty [$ la fonction g est décroissante et pour tout réel $x \in [4; + \infty [$ , $g (x) < 1$ . Donc la fonction f est décroissante sur l'intervalle $[4; + \infty [$
  La réponse exacte est :
  vrai
3. $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ ;
  $\lim_{x \to + \infty} g (x) = 1$ et $\lim_{X \to 1} \ln (X) = 0$ alors par composition, $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$
  La réponse exacte est :
  faux
4. $\lim_{\begin{matrix} x \to - 1 \\ x > - 1 \end{matrix}} f (x) = - \infty$ .
  $\lim_{\begin{matrix} x \to - 1 \\ x > - 1 \end{matrix}} g (x) = 0^{+}$ et $\lim_{\begin{matrix} X \to 0 \\ X > 0 \end{matrix}} \ln (X) = - \infty$ alors par composition, $\lim_{\begin{matrix} x \to - 1 \\ x > - 1 \end{matrix}} f (x) = - \infty$ .
  La réponse exacte est :
  vrai

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