sujet : Nouvelle Calédonie

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé en vendant x centaines d'objets fabriqués, est modélisé par la fonction B définie et dérivable sur l'intervalle $\left[1;15\right]$ par :$$\begin{array}{ccc}B\left(x\right)=\left(x-5\right){\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}+2& \text{avec}& u\left(x\right)=-\mathrm{0,02}{x}^2+\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,5}\end{array}$$ Si $B\left(x\right)$ est positif il s'agit d'un bénéfice, s'il est négatif il s'agit d'une perte.

1. On note $B\prime$ la fonction dérivée de la fonction B et $u\prime$ la fonction dérivée de la fonction u.

   1. Calculer $u\prime \left(x\right)$ et démontrer que, pour tout x de l'intervalle $\left[1;15\right]$, on a :$$B\prime \left(x\right)=\left(-\mathrm{0,04}{x}^2+\mathrm{0,4}x\right){\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$$

      Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction $f:x⟼{\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$ est dérivable sur I et pour tout réel x de I, $$f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}\times u\prime \left(x\right)$$

   2. Étudier le signe de $B\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[1;15\right]$ puis dresser le tableau de variations de la fonction B.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

   Déterminer le nombre minimum d'objets que l'entreprise doit vendre pour réaliser un bénéfice. Pour quel nombre d'objets ce bénéfice est-il maximal ? Et quel est alors ce bénéfice maximal (arrondi à l'euro près) ?

3. La valeur moyenne m d'une fonction f qui admet des primitives sur un intervalle $\left[a;b\right]$ avec $a<b$ est : $m={\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)\mathrm{d}t}$.

   1. Vérifier que $B\left(x\right)=-25\times u\prime \left(x\right){\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}+2$.

   2. En déduire l'arrondi au millième de la valeur moyenne de B sur $\left[1;15\right]$.

      Une primitive de la fonction $f:x⟼u\prime \left(x\right){\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$ est la fonction $F:x⟼{\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$

   3. Interpréter ce résultat pour l'entreprise.

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