sujet : Nouvelle Calédonie

correction de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Représenter le nuage des points $M_i\left(x_i;y_i\right)$ de cette série statistique dans un plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour 1 année sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 10 milliers d'euros sur l'axe des ordonnées).

2. On utilise un ajustement affine comme premier modèle.

   1. Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite (D) de régression de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Pour chacun des coefficients, donner la valeur décimale arrondie au dixième.

      Une équation de la droite (D) de régression de y en x obtenue à l'aide de la calculatrice, est $y=\mathrm{5,8}x+\mathrm{104,2}$ (coefficients arrondis au dixième)

      ---

   2. Calculer le montant (arrondi au millier d'euros près) de la facture de gaz obtenue avec ce modèle pour l'année 2012.

      Le rang de l'année 2012 est 12. D'où une estimation du montant en milliers d'euros de la facture de gaz :$$\mathrm{5,8}\times 12+\mathrm{104,2}=\mathrm{173,8}$$

      Arrondi au millier d'euros près, en 2012 le montant estimé de la facture de gaz sera de 174 milliers d'euros.

      ---

3. Déterminer le pourcentage annuel moyen d'augmentation de cette facture entre 2000 et 2007 (arrondir à l'unité).

   Soit x le coefficient multiplicateur associé au pourcentage annuel moyen d'augmentation de la facture de gaz entre 2000 et 2007. x est solution de l'équation : $$\begin{array}{ccc}105x^7=148& \iff & x^7={\displaystyle \frac{148}{105}}\\ & \iff & x={\left({\displaystyle \frac{148}{105}}\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{7}}}\\ & \text{Soit}& x\approx \mathrm{1,05}\end{array}$$

   Entre 2000 et 2007, la facture de gaz a augmenté en moyenne de 5 % chaque année.

   ---

4. On envisage un second modèle pour prévoir l'évolution de cette facture ; on considère qu'à partir de 2007, la facture augmentera de 5 % chaque année. Pour tout entier naturel n, on appelle $u_n$ le montant (en milliers d'euros) de la facture de gaz obtenu avec ce second modèle pour l'année 2007 + n. Ainsi, $u_0=148$ .

   1. Calculer $u_1$ .

      Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 5% est égal à 1,05. Par conséquent, le montant $u_1$ en milliers d'euros de la facture en 2008 est :$$u_1=148\times \mathrm{1,05}=\mathrm{155,4}$$

      Ainsi, $u_1=\mathrm{155,4}$

      ---

   2. Justifier que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,05.

      À partir de 2007, la facture augmente de 5 % chaque année. Exprimons le montant de la facture de gaz l'année de rang $n+1$ en fonction du montant de l'année de rang n :$$u_{n+1}=u_n\times \mathrm{1,05}$$

      Ainsi, pour tout entier n, $u_{n+1}=u_n\times \mathrm{1,05}$ donc $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,05.

      ---

   3. Exprimer $u_n$ en fonction de n.

      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme $u_0=148$ alors pour tout entier n, $u_n=148\times {\mathrm{1,05}}^n$

      Ainsi, pour tout entier n, $u_n=148\times {\mathrm{1,05}}^n$.

      ---

   4. Calculer le montant (arrondi au millier d'euros près) de la facture de gaz obtenue avec ce second modèle pour l'année 2012.

      Avec ce modèle, le rang n de l'année 2012 est 5 (2012 −2007 = 5) d'où une estimation du montant de la facture : $$u_5=148\times {\mathrm{1,05}}^5\approx \mathrm{188,9}$$

      Avec ce second modèle, en 2012, l'arrondi au millier d'euros près du montant estimé de la facture de gaz est de 189 milliers d'euros.

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.