sujet : Nouvelle Calédonie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Lors d'un jeu, Marc doit répondre à la question suivante :
« Le premier jour, nous vous offrons 100 € puis chaque jour suivant, nous vous offrons 5 % de plus que la veille et une somme fixe de 20 €. Au bout de combien de jours aurez-vous gagné 10 000 € ? »

1. Pour tout entier naturel n non nul, on note $u_n$ le montant total en euros versé à Marc le n-ième jour. Ainsi, $u_1=100$.

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   1. Calculer $u_2$.

      Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 5% est égal à 1,05. Donc la somme $u_2$, offerte le deuxième jour est : $$\begin{array}{ccc}{u}_2=\mathrm{1,05}\times u_1+20& \text{Soit}& u_2=\mathrm{1,05}\times 100+20=125\end{array}$$

      Ainsi, $u_2=125$

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   2. Justifier que, pour tout entier naturel n non nul, $u_{n+1}=\mathrm{1,05}{u}_n+20$.

      Pour tout entier naturel n non nul, $u_n$ est le montant total en euros versé à Marc le n-ième jour. Le jour suivant, le montant offert à Marc est égal au montant $u_n$ augmenté de 5 % (c'est à dire $\mathrm{1,05}\times u_n$) auquel il faut ajouter le fixe de 20 €.

      Donc pour tout entier naturel n non nul, $u_{n+1}=\mathrm{1,05}{u}_n+20$.

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2. Pour tout entier naturel n non nul, on pose $v_n=u_n+400$.

   1. Calculer $v_1$.

      $\begin{array}{llll}& v_1& =& u_1+400\\ \text{Soit}& v_1& =& 100+400\\ \iff & v_1& =& 500\end{array}$

      Ainsi, $v_1=500$

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   2. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique et préciser sa raison.

      Pour tout entier naturel n non nul, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}=u_{n+1}+400& \iff & v_{n+1}=\mathrm{1,05}{u}_n+20+400\\ & \iff & v_{n+1}=\mathrm{1,05}{u}_n+420\\ & \iff & v_{n+1}=\mathrm{1,05}\left(u_n+400\right)\\ & \iff & v_{n+1}=\mathrm{1,05}{v}_n\end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier n non nul, $v_{n+1}=\mathrm{1,05}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme $v_1=500$.

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   3. Exprimer $v_n$ en fonction de n puis en déduire que $u_n=500\times {\mathrm{1,05}}^{n-1}-400$.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme $v_1=500$, alors pour tout entier n non nul,$$v_n=500\times {\mathrm{1,05}}^{n-1}$$

      Par conséquent, pour tout entier n non nul, $$\begin{array}{ccc}{u}_n+400=500\times {\mathrm{1,05}}^{n-1}& \iff & u_n=500\times {\mathrm{1,05}}^{n-1}-400\end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier n non nul, $u_n=500\times {\mathrm{1,05}}^{n-1}-400$.

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   4. Déterminer, en fonction de n, la somme $v_1+v_2+\cdots +v_n$.

      $v_1+v_2+\cdots +v_n$ est la somme des n premiers termes d'une suite géométriqueLa somme $S_n$ de termes consécutifs d'une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $q\ne 1$ est : $$\begin{array}{ccccc}{S}_n& =& u_0+u_1+\dots +u_n& =& u_0\times {\displaystyle \frac{1-q^{n+1}}{1-q}}\end{array}$$$$\text{somme de termes consécutifs d'une suite géométrique}=\text{terme initial}\times {\displaystyle \frac{1-{\text{raison}}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}}$$ d'où :$$\begin{array}{lll}{v}_1+v_2+\cdots +v_n& =& 500\times {\displaystyle \frac{1-{\mathrm{1,05}}^n}{1-\mathrm{1,05}}}\\ & =& 10000\times \left({\mathrm{1,05}}^n-1\right)\end{array}$$

      Pour tout entier n non nul, $v_1+v_2+\cdots +v_n=10000\times \left({\mathrm{1,05}}^n-1\right)$.

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3. Quelle réponse Marc doit-il donner ?

   Au n-ième jour, le montant total en euros que Marc aura gagné est égal à : $$\begin{array}{lll}{u}_1+u_2+\cdots +u_n& =& \left(v_1-400\right)+\left(v_2-400\right)+\cdots +\left(v_n-400\right)\\ & =& \left(v_1+v_2+\cdots +v_n\right)-400n\\ & =& 10000\times \left({\mathrm{1,05}}^n-1\right)-400n\end{array}$$

   Par conséquent, n est le plus petit entier tel que :$$\begin{array}{lll}{u}_1+u_2+\cdots +u_n⩾10000& \iff & 10000\times \left({\mathrm{1,05}}^n-1\right)-400n⩾10000\\ & \iff & {\mathrm{1,05}}^n-1-\mathrm{0,04}n⩾1\\ & \iff & {\mathrm{1,05}}^n-\mathrm{0,04}n-2⩾0\end{array}$$

   On ne sait pas résoudre algébriquement l'inéquation ${\mathrm{1,05}}^n-\mathrm{0,04}n-2⩾0$ !

   La méthode la plus simple consiste à utiliser la calculatrice pour représenter la fonction f définie sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\mathrm{1,05}}^x-\mathrm{0,04}x-2$ puis, répondre à la question soit à l'aide de la courbe repésentative soit à l'aide du tableau des valeurs de la fonction f

   x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
   $f\left(x\right)$	-0,99	-0,978	-0,962	-0,944	-0,924	-0,9	-0,873	-0,843	-0,809	-0,771	-0,73	-0,684	-0,634	-0,58	-0,521	-0,457	-0,388	-0,313	-0,233	-0,147	-0,054	0,045	0,152

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   La somme totale que Marc aura gagné, dépassera 10 000 € au bout de 22 jours.

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   remarque :

   Une méthode plus rigoureuse, consiste à étudier la fonction f définie sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\mathrm{1,05}}^x-\mathrm{0,04}x-2$ :

   • La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)=\ln \left(\mathrm{1,05}\right)\times {\mathrm{1,05}}^x-\mathrm{0,04}$.

   • Établir que $$\begin{array}{ccc}\ln \left(\mathrm{1,05}\right)\times {\mathrm{1,05}}^x-\mathrm{0,04}>0& \iff & x>-{\displaystyle \frac{\ln \left(25\ln \left(\mathrm{1,05}\right)\right)}{\ln \left(\mathrm{1,05}\right)}}\end{array}$$

   • En déduire que sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$, la fonction f est strictement coissante.

   • Remarquer que $f\left(1\right)=-\mathrm{0,99}$ et que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

   • Le théorème de la valeur intermédiaire permet d'établir que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique $x_0\in \left[1;+\infty \right[$

   • Du fait de la stricte croissance de la fonction f nous pouvons conclure que pour tout réel $x>x_0$, $f\left(x\right)>0$

   • Enfin utiliser la calculatrice pour vérifier que $21<x_0<22$

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