sujet : Nouvelle Calédonie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

1. On note $B\prime$ la fonction dérivée de la fonction B et $u\prime$ la fonction dérivée de la fonction u.

   1. Calculer $u\prime \left(x\right)$ et démontrer que, pour tout x de l'intervalle $\left[1;15\right]$, on a :$$B\prime \left(x\right)=\left(-\mathrm{0,04}{x}^2+\mathrm{0,4}x\right){\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$$

      • $u\left(x\right)=-\mathrm{0,02}{x}^2+\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,5}$ donc $u\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,04}x+\mathrm{0,2}$

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      • Pour tout réel x de l'intervalle $\left[1;15\right]$, posons $$\begin{array}{llllll}& f\left(x\right)=x-5& \text{d'où}& f\prime \left(x\right)=1& & \\ \text{et}& g\left(x\right)={\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}& \text{d'où}& g\prime \left(x\right)=u\prime \left(x\right)\times {\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}& \text{Soit}& g\prime \left(x\right)=\left(-\mathrm{0,04}x+\mathrm{0,2}\right)\times {\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}\end{array}$$

        Alors, la fonction $B=f\times g+2$ est dérivable comme produit et somme de fonctions dérivables et $B\prime =f\prime g+fg\prime$   D'où $$\begin{array}{lll}B\prime \left(x\right)& =& {\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}+\left(x-5\right)\left(-\mathrm{0,04}x+\mathrm{0,2}\right){\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}\\ & =& \left(1+\left(x-5\right)\left(-\mathrm{0,04}x+\mathrm{0,2}\right)\right){\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}\\ & =& \left(1-\mathrm{0,04}{x}^2+\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}x-1\right){\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}\\ & =& \left(-\mathrm{0,04}{x}^2+\mathrm{0,4}x\right){\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left[1;15\right]$, $B\prime \left(x\right)=\left(-\mathrm{0,04}{x}^2+\mathrm{0,4}x\right){\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$

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   2. Étudier le signe de $B\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[1;15\right]$ puis dresser le tableau de variations de la fonction B.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[1;15\right]$, $$\begin{array}{ccc}B\prime \left(x\right)=\left(-\mathrm{0,04}{x}^2+\mathrm{0,4}x\right){\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}& \iff & B\prime \left(x\right)=\mathrm{0,04}x\left(10-x\right){\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}\end{array}$$

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}>0$ . Donc $B\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $\mathrm{0,04}x\left(10-x\right)$ sur l'intervalle $\left[1;15\right]$.

      D'où le tableau établissant le signe de $B\prime \left(x\right)$ et les variations de B

      x	1		10		15
      $B\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $B\left(x\right)$	− 0,905		5,033		3,353

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
   Déterminer le nombre minimum d'objets que l'entreprise doit vendre pour réaliser un bénéfice. Pour quel nombre d'objets ce bénéfice est-il maximal ? Et quel est alors ce bénéfice maximal (arrondi à l'euro près) ?

   • D'après le tableau des variations, sur l'intervalle $\left[10;15\right]$, $B\left(x\right)$ est positif.

     Sur l'intervalle $\left[1;10\right]$ , la fonction f est continue, strictement croissante et $B\left(1\right)<0<B\left(10\right)$. Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$., l'équation $B\left(x\right)=0$ admet une solution unique $x_0\in \left]1;10\right[$

     Or B est strictement croissante sur $x_0\in \left]1;10\right[$, donc sur cet intervalle, $B\left(x\right)$ est positif pour $x>x_0$.

     À l'aide de la calculatrice, par encadrements successifs, déterminons une valeur approchée de $x_0$ :$$\begin{array}{llllc}B\left(2\right)\approx -\mathrm{0,5}& \text{et}& B\left(3\right)\approx \mathrm{0,15}& \text{donc}& 2<x_0<3\\ B\left(\mathrm{2,7}\right)\approx -\mathrm{0,07}& \text{et}& B\left(\mathrm{2,8}\right)\approx \mathrm{0,003}& \text{donc}& \mathrm{2,7}<x_0<\mathrm{2,8}\\ B\left(\mathrm{2,79}\right)\approx -\mathrm{0,004}& \text{et}& B\left(\mathrm{2,80}\right)\approx \mathrm{0,003}& \text{donc}& \mathrm{2,79}<x_0<\mathrm{2,80}\\ B\left(\mathrm{2,795}\right)\approx -\mathrm{0,0007}& \text{et}& B\left(\mathrm{2,796}\right)\approx \mathrm{0,00005}& \text{donc}& \mathrm{2,795}<x_0<\mathrm{2,796}\end{array}$$

     Par conséquent, pour réaliser un bénéfice, l'entreprise doit vendre au moins 280 objets.

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   • D'après le tableau des variations, le maximum de la fonction B est atteint pour $x=10$ et $$B\left(10\right)=5{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}}+2\approx \mathrm{5,033}$$

     Par conséquent, le bénéfice maximal est de 5033 € obtenu avec la vente de 1000 objets.

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3. La valeur moyenne m d'une fonction f qui admet des primitives sur un intervalle $\left[a;b\right]$ avec $a<b$ est : $m={\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)\mathrm{d}t}$.

   1. Vérifier que $B\left(x\right)=-25\times u\prime \left(x\right){\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}+2$.

      $$\begin{array}{lll}B\left(x\right)=\left(x-5\right){\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}+2& \iff & B\left(x\right)=-25\times \left({\displaystyle \frac{5}{25}}-{\displaystyle \frac{x}{25}}\right){\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}+2\\ & \iff & B\left(x\right)=-25\times \left(\mathrm{0,2}-\mathrm{0,04}x\right){\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}+2\end{array}$$

      Or $u\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,04}x+\mathrm{0,2}$

      Ainsi, $B\left(x\right)=-25\times u\prime \left(x\right){\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}+2$.

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   2. En déduire l'arrondi au millième de la valeur moyenne de B sur $\left[1;15\right]$.

      $$\begin{array}{lll}m={\displaystyle \frac{1}{15-1}}{\displaystyle {\int }_1^{15}B\left(x\right)\mathrm{d}x}& \iff & m={\displaystyle \frac{1}{14}}{\displaystyle {\int }_1^{15}\left(-25\times u\prime \left(x\right){\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}+2\right)\mathrm{d}x}\\ & \iff & m={\displaystyle \frac{1}{14}}\times {\displaystyle {\left[-25{\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}+2x\right]}_1^{15}}\\ & \iff & m={\displaystyle \frac{1}{14}}\times \left[\left(-25{\mathrm{e}}^{u\left(15\right)}+2\times 15\right)-\left(-25{\mathrm{e}}^{u\left(1\right)}+2\times 1\right)\right]\\ & \iff & m={\displaystyle \frac{1}{14}}\times \left(-25{\mathrm{e}}^{-2}+30+25{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,32}}-2\right)\\ & \iff & m={\displaystyle \frac{1}{14}}\times \left(-25{\mathrm{e}}^{-2}+25{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,32}}+28\right)\\ & \text{Soit}& m\approx \mathrm{3,055}\end{array}$$

      L'arrondi au millième de la valeur moyenne de B sur $\left[1;15\right]$ est 3,055.

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   3. Interpréter ce résultat pour l'entreprise.

      Le bénéfice moyen de cette entreprise est de 3055 €

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