Baccalauréat session 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Lors d'un jeu, Marc doit répondre à la question suivante :
« Le premier jour, nous vous offrons 100 € puis chaque jour suivant, nous vous offrons 5 % de plus que la veille et une somme fixe de 20 €. Au bout de combien de jours aurez-vous gagné 10 000 € ? »

Pour tout entier naturel n non nul, on note $u_{n}$ le montant total en euros versé à Marc le n-ième jour. Ainsi, $u_{1} = 100$ .
1. Calculer $u_{2}$ .
2. Justifier que, pour tout entier naturel n non nul, $u_{n + 1} = 1,05 u_{n} + 20$ .
Pour tout entier naturel n non nul, on pose $v_{n} = u_{n} + 400$ .
1. Calculer $v_{1}$ .
2. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique et préciser sa raison.
  DÉFINITION :
  Dire qu'une suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ .
3. Exprimer $v_{n}$ en fonction de n puis en déduire que $u_{n} = 500 \times {1,05}^{n - 1} - 400$ .
  Si $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison q, alors, $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ .
4. Déterminer, en fonction de n, la somme $v_{1} + v_{2} + \dots + v_{n}$ .
  somme de n termes consécutifs d'une suite géométrique
  La somme $S_{n}$ de termes consécutifs d'une suite géométrique $(u_{n})$ de raison $q \neq 1$ est : $\begin{matrix} S_{n} & = & u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} & = & u_{0} \times \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} \end{matrix}$ $somme de termes consécutifs d'une suite géométrique = terme initial \times \frac{1 - {raison}^{nombre de termes}}{1 - raison}$
Quelle réponse Marc doit-il donner ?
Question difficile, il faut s'aider de : $\begin{array}{l} u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} & = & (v_{1} - 400) + (v_{2} - 400) + \dots + (v_{n} - 400) \end{array}$

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