Baccalauréat session 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie

Corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Deux joueurs Roger et Raphaël disputent un match de tennis.
Dans cet exercice, on s'intéresse aux points gagnés par Roger lorsqu'il sert (c'est-à-dire, lorsqu'il effectue la mise en jeu). À chaque point disputé, Roger dispose de deux essais pour son service. S'il rate ces deux essais, il perd le point (on parle de double faute).
Roger s'apprête à servir. On note :

A l'évènement « Roger réussit son premier service »,
B l'évènement « Roger réussit son second service »,
G l'évènement « Roger gagne le point ».

On note respectivement $\bar{A}$ , $\bar{B}$ et $\bar{G}$ les évènements contraires respectifs des événements A, B et G.
Une étude sur les précédents matchs de Roger a permis d'établir que, lorsque Roger sert :

il réussit dans 75 % des cas son premier essai et lorsque ce premier service est réussi, il gagne le point dans 92 % des cas.
s'il ne réussit pas son premier essai, il réussit le second dans 96 % des cas et lorsque ce second service est réussi, il gagne le point dans 70 % des cas.

On va décrire la situation précédente par un arbre pondéré :

Les probabilités demandées seront données sous forme décimale arrondie, si nécessaire, au millième.

Reproduire l'arbre ci-dessus et le pondérer à l'aide des données du texte.
- il réussit dans 75 % des cas son premier essai et lorsque ce premier service est réussi, il gagne le point dans 92 % des cas. Donc $p (A) = 0,75$ et $p_{A} (G) = 0,92$
- s'il ne réussit pas son premier essai, il réussit le second dans 96 % des cas et lorsque ce second service est réussi, il gagne le point dans 70 % des cas. Donc $p_{\bar{A}} (B) = 0,96$ et $p_{B} (G) = 0,7$
D'où l'arbre pondéré représentant la situation :
L'arbre est complété à l'aide de la règle des nœuds.Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1.
Quelle est la probabilité que Roger fasse une double faute ?
Faire une double faute est l'évènement $\bar{A} \cap \bar{B}$ or : $\begin{array}{l} p (\bar{A} \cap \bar{B}) & = & p_{\bar{A}} (\bar{B}) \times p (\bar{A}) \\ = & 0,04 \times 0,25 \\ = & 0,01 \end{array}$
La probabilité que Roger fasse une double faute est égale à 0,01.
Quelle est la probabilité que Roger rate son premier service, réussisse le second et gagne le point ?
Rater le premier service, réussir le second et gagner le point est l'évènement $\bar{A} \cap B \cap G$ or : $\begin{array}{l} p (\bar{A} \cap B \cap G) & = & p_{\bar{A} \cap B} (G) \times p (\bar{A} \cap B) \\ = & p_{\bar{A} \cap B} (G) \times (p_{\bar{A}} (B) \times p (\bar{A})) \\ = & 0,7 \times 0,96 \times 0,25 \\ = & 0,168 \end{array}$
La probabilité que Roger rate son premier service, réussisse le second et gagne le point est égale à 0,168.
Montrer que la probabilité que Roger gagne le point est de 0,858.
Le point est gagné soit à l'issue du premier service soit à l'issue du second service d'où : $\begin{array}{l} p (G) & = & p (\bar{A} \cap B \cap G) + p (A \cap G) \\ = & p (\bar{A} \cap B \cap G) + p_{A} (G) \times p (A) \\ = & 0,168 + 0,92 \times 0,75 \\ = & 0,858 \end{array}$
La probabilité que Roger gagne le point est égale à 0,858.
Sachant que Roger a gagné le point joué, quelle est la probabilité qu'il ait réussi son premier service ?
Il s'agit de calculer la probabilité de l'évènement A sachant que l'évènement G a eu lieu : $\begin{matrix} p_{G} (A) & = & \frac{p (A \cap G)}{p (G)} \\ = & \frac{0,92 \times 0,75}{0,858} \\ \approx & 0,804 \end{matrix}$
Sachant que Roger a gagné le point joué, la probabilité qu'il ait réussi son premier service est égale à 0,804.
Les deux joueurs disputent quatre points de suite (Roger servant à chaque fois). On admet que chaque point joué est indépendant des points joués précédemment. Quelle est la probabilité que Roger ne gagne pas la totalité des quatre points ?
Les deux joueurs disputent quatre points de suite et chaque point joué est indépendant des points joués précédemment. La situation peut être modélisée par la répétition de quatre épreuves de Bernoulli indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de points gagnés est une loi binomiale de paramètres 4 et 0,858.
L'évènement E " Roger ne gagne pas la totalité des quatre points " est l'évènement contraire de l'évènement " Roger gagne les quatre points " noté (GGGG). Or $\begin{matrix} p (G G G G) = {0,858}^{4} & donc & p (E) = 1 - {0,858}^{4} \approx 0,458 \end{matrix}$
La probabilité que Roger ne gagne pas la totalité des quatre points est égale à 0,458.

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