Baccalauréat juin 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du nord

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $[- 2; 11]$ , et on donne sa courbe représentative $C_{f}$ dans un repère orthogonal $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥})$ , figure ci-dessous.

On sait que la courbe $C_{f}$ passe par les points $A (- 2; 0,5)$ , $B (0; 2)$ , $C (2; 4,5)$ , $D (4,5; 2)$ , $E (7,5; 0)$ et $F (11; - 0,75)$ .
Les tangentes à la courbe $C_{f}$ aux points A, B, C , D et F sont représentées sur la figure.
On utilisera les informations de l'énoncé et celles lues sur la figure pour répondre aux questions.

Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif la note est ramenée à 0.

$f' (0)$ est égal à :
Le nombre dérivé $f' (0)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_{f}$ au point B d'abscisse 0. Cette droite passe par les points de coordonnées $(- 1; 0)$ et $B (0; 2)$ d'où $f' (0) = \frac{2 - 0}{0 + 1} = 2$
A : $\frac{1}{2}$
B : 2
C : 4
$f' (x)$ est strictement positif sur l'intervalle :
D'après sa représentation graphique, la fonction f est continue, strictement croissante sur l'intervalle $] - 2; 2 [$ et sur cet intervalle, la courbe n'a pas de tangente parallèle à l'axe des abscisses. Donc
$f' (x)$ est strictement positif sur l'intervalle $] - 2; 2 [$ .
A : $] 0; 11 [$
B : $] 0; 7,5 [$
C : $] - 2; 2 [$
Une équation de la tangente à la courbe $C_{f}$ au point D est :
La tangente à la courbe $C_{f}$ au point $D (4,5; 2)$ passe par le point de coordonnées $(6; 0,5)$ . Le coefficient directeur de cette droite est $a = \frac{0,5 - 2}{6 - 4,5} = - 1$
La réponse A est la seule qui puisse convenir
A : $y = - x + 6,5$
B : $y = x - 6,5$
C : $y = - 2 x + 11$
Une primitive F de la fonction f sur l'intervalle $[- 2; 11]$ :
Dire que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $[- 2; 11]$ signifie que pour tout réel $x \in [- 2; 11]$ , $F' (x) = f (x)$ .
Par conséquent, les variations de la fonction F se déduisent du signe de f. Donc
F est strictement croissante sur l'intervalle $[- 2; 7,5]$
A : admet un maximum en $x = 2$
B : est strictement croissante sur l'intervalle $[- 2; 7,5]$
C : est strictement décroissante sur l'intervalle $] 2; 11 [$
Sur l'intervalle $[- 2; 11]$ l'équation $\exp (f (x)) = 1$ :
Pour tout réel $x \in [- 2; 11]$ , $\begin{matrix} \exp (f (x)) = 1 & \Leftrightarrow & f (x) = 0 \end{matrix}$ Or la courbe $C_{f}$ coupe l'axe des abscisses en un seul point $E (7,5; 0)$
Donc sur l'intervalle $[- 2; 11]$ l'équation $\exp (f (x)) = 1$ admet pour unique solution 7,5.
A : admet une solution
B : admet deux solutions
C : n'admet aucune solution

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