Pendant ses vacances d'été, Alex a la possibilité d'aller se baigner tous les jours. S'il va se baigner un jour, la probabilité qu'il aille se baigner le lendemain est de 0,7.
S'il ne va pas se baigner un jour, la probabilité qu'il aille se baigner le lendemain est de 0,9.
Le premier jour de ses vacances, Alex va se baigner.
n étant un entier naturel non nul, on note :
Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (B représentant l'état « Alex va se baigner »).
Soient l'évènement : « Alex ne va pas se baigner le n-ième jour » et l'évènement : « Alex va se baigner le n-ième jour ».
Si Alex va se baigner un jour, la probabilité qu'il aille se baigner le lendemain est de 0,7. Donc Si Alex ne va pas se baigner un jour, la probabilité qu'il aille se baigner le lendemain est de 0,9. Donc
Le graphe probabiliste qui représente la situation est donc :
Soit M la matrice de transition associée à ce graphe. Recopier et compléter
La matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre est
Calculer , et . Quelle conjecture peut-on faire ?
L'état stable semble être . C'est à dire qu'à partir d'un certain nombre de jours, la probabilité qu'Alex aille se baigner est égale à 0,75.
Montrer que pour tout entier n non nul, .
Pour tout entier n non nul,
Ainsi, pour tout entier n non nul, .
En déduire que : .
Pour tout entier n non nul, . D'où
Ainsi, pour tout entier n non nul, .
On considère la suite u définie pour tout entier n non nul par .
Montrer que u est une suite géométrique de raison − 0,2 ; on précisera son premier terme.
Pour tout entier n non nul,
Ainsi, Pour tout entier n non nul, donc u est une suite géométrique de raison − 0,2.
u est une suite géométrique de raison − 0,2 et de premier terme .
Déterminer la limite de la suite u.
u est une suite géométrique de raison − 0,2 et donc la suite u converge vers 0.
En déduire .
Pour tout entier n non nul,
Or donc
On suppose dans cette question que le premier jour de ses vacances, Alex ne va pas se baigner.
Quelle est la probabilité qu'il aille se baigner le 20e jour de ses vacances ?
Si Alex ne va pas se baigner le premier jour de ses vacances alors, l'état initial d'où l'état probabiliste du 20e jour de ses vacances est
La probabilité qu'Alex aille se baigner le 20e jour de ses vacances est égale à 0,75.
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