Baccalauréat juin 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du nord

Corrigé de l'exercice 4 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pendant ses vacances d'été, Alex a la possibilité d'aller se baigner tous les jours. S'il va se baigner un jour, la probabilité qu'il aille se baigner le lendemain est de 0,7.
S'il ne va pas se baigner un jour, la probabilité qu'il aille se baigner le lendemain est de 0,9.
Le premier jour de ses vacances, Alex va se baigner.

n étant un entier naturel non nul, on note :

  • an la probabilité qu'Alex n'aille pas se baigner le n-ième jour.
  • bn la probabilité qu'Alex aille se baigner le n-ième jour.
  • Pn=(anbn) la matrice ligne traduisant l'état probabiliste le n-ième jour. On a donc P1=(01)
    1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (B représentant l'état « Alex va se baigner »).

      Soient An l'évènement : « Alex ne va pas se baigner le n-ième jour » et Bn l'évènement : « Alex va se baigner le n-ième jour ».

      Si Alex va se baigner un jour, la probabilité qu'il aille se baigner le lendemain est de 0,7. Donc pBn(Bn+1)=0,7 d'où pBn(An+1)=1-0,7=0,3 Si Alex ne va pas se baigner un jour, la probabilité qu'il aille se baigner le lendemain est de 0,9. Donc pAn(Bn+1)=0,9d'oùpAn(An+1)=1-0,9=0,1

      Le graphe probabiliste qui représente la situation est donc :

      Graphe probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Soit M la matrice de transition associée à ce graphe. Recopier et compléter M=(0,10,7)

      La matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre est M=(0,10,90,30,7)


  1. Calculer P3, P10 et P20. Quelle conjecture peut-on faire ?

    P3=P1×M2SoitP3=(01)×(0,10,90,30,7)2P3=(0,240,76)

    P10=P1×M9SoitP10=(01)×(0,10,90,30,7)9d'oùP10(0,250,75)

    P20=P1×M19SoitP20=(01)×(0,10,90,30,7)19d'oùP20(0,250,75)

    L'état stable semble être P=(0,250,75). C'est à dire qu'à partir d'un certain nombre de jours, la probabilité qu'Alex aille se baigner est égale à 0,75.


    1. Montrer que pour tout entier n non nul, bn+1=0,9an+0,7bn.

      Pour tout entier n non nul, Pn+1=Pn×MSoit(an+1bn+1)=(anbn)×(0,10,90,30,7)(an+1bn+1)=(0,1an+0,3bn0,9an+0,7bn)

      Ainsi, pour tout entier n non nul, bn+1=0,9an+0,7bn.


    2. En déduire que : bn+1=-0,2bn+0,9.

      Pour tout entier n non nul, an+bn=1 . D'où bn+1=0,9(1-bn)+0,7bnbn+1=0,9-0,9bn+0,7bnbn+1=-0,2bn+0,9

      Ainsi, pour tout entier n non nul, bn+1=-0,2bn+0,9.


  2. On considère la suite u définie pour tout entier n non nul par un=bn-0,75.

    1. Montrer que u est une suite géométrique de raison − 0,2 ; on précisera son premier terme.

      Pour tout entier n non nul, un+1=bn+1-0,75un+1=-0,2bn+0,9-0,75un+1=-0,2bn+0,15un+1=-0,2(bn-0,75)un+1=-0,2un

      Ainsi, Pour tout entier n non nul, un+1=-0,2un donc u est une suite géométrique de raison − 0,2.

      u1=b1-0,75Soitu1=1-0,75=0,25

      u est une suite géométrique de raison − 0,2 et de premier terme u1=0,25.


    2. Déterminer la limite de la suite u.

      u est une suite géométrique de raison − 0,2 et 0<|-0,2|<1 donc la suite u converge vers 0.


    3. En déduire limn+bn.

      Pour tout entier n non nul, un=bn-0,75bn=un+0,75

      Or limn+un=0 donc limn+bn=0,75


  3. On suppose dans cette question que le premier jour de ses vacances, Alex ne va pas se baigner.
    Quelle est la probabilité qu'il aille se baigner le 20e jour de ses vacances ?

    Si Alex ne va pas se baigner le premier jour de ses vacances alors, l'état initial P1=(10) d'où l'état probabiliste du 20e jour de ses vacances est P20=P1×M19SoitP20=(10)×(0,10,90,30,7)19d'oùP20(0,250,75)

    La probabilité qu'Alex aille se baigner le 20e jour de ses vacances est égale à 0,75.



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