sujet : amérique du nord

correction de l'exercice 4 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Tracer le nuage de points sur une feuille de papier millimétré, on prendra 2 cm pour une unité en x et 1cm pour 200 en y.
   Un modèle d'ajustement affine a été rejeté par le service de santé. Pourquoi ?

   rappel :

   f est une fonction affine si, et seulement si, pour tous réels $x_1$ et $x_2$ distincts :$${\displaystyle \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}}=a$$

   D'une semaine sur l'autre, l'accroissement du nombre de consultations n'est pas constant mais augmente sensiblement. Donc un ajustement affine n'est pas adapté.

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2. Pour effectuer un ajustement exponentiel, on décide de considérer les $z_i=\ln \left(y_i\right)$.
   Reproduire et compléter le tableau suivant sur votre copie en arrondissant les $z_i$ à 0,01 près. Il n'est pas demandé de tracer le nuage de points correspondant.

   Rang de la semaine $x_i$	1	2	3	4	5	6	7
   $z_i=\ln \left(y_i\right)$	6,29	6,58	6,89	7,19	7,5	7,79	8,1

3. Trouver à la calculatrice l'équation de la droite d'ajustement affine par la méthode des moindres carrés reliant z et x (les coefficients obtenus par la calculatrice seront donnés à 0,1 près) puis déduire y en fonction de x (on donnera le résultat sous la forme $y={\mathrm{e}}^{ax+b}$, a et b étant deux réels).

   Une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : $$z=\mathrm{0,3}x+6$$ (coefficients arrondis arrondis au dixième).

   Pour tout réel $y>0$ , $z=\ln y\iff y=\exp z$ d'où $$\begin{array}{l}y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x+6}\end{array}$$

   Une estimation du nombre de consultations y en fonction du rang x de la semaine est $y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x+6}$.

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4. En utilisant ce modèle, trouver par le calcul :

   1. Une estimation du nombre de consultations à la 10^ème semaine (arrondir à l'unité).

      $x=10$ et $${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}\times 10+6}\approx 8103$$

      La 10^ème semaine, le nombre de consultations est estimé à 8103.

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   2. La semaine à partir de laquelle le nombre de consultations dépassera le quart de la population.

      Le rang de la semaine à partir de laquelle le nombre de consultations dépassera le quart de la population est le plus petit entier n tel que $$\begin{array}{llll}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}n+6}⩾{\displaystyle \frac{50000}{4}}& \iff & \mathrm{0,3}n+6⩾\ln \left(12500\right)& \text{la fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left(12500\right)-6}{\mathrm{0,3}}}& \approx \mathrm{11,4}\end{array}$$

      Le nombre de consultations dépassera le quart de la population à partir de la 12^ème semaine.

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5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
   En observant les valeurs données par le modèle exponentiel grâce à un tableau obtenu à l'aide d'une calculatrice, expliquer si ce modèle reste valable sur le long terme.

   Avec ce modèle exponentiel, les estimations du nombre de consultations sont :

   Rang de la semaine $x_i$	13	14	15	16	17
   Nombre de consultations $y_i={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}{x}_i+6}$	19930	26903	36316	49021	66171

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   À partir de la 17^ème semaine, le nombre de consultations est supérieur au nombre d'habitants de la ville donc ce modèle n'est pas adapté sur le long terme.

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