Baccalauréat juin 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du nord

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Un commerçant spécialisé en photographie numérique propose en promotion un modèle d'appareil photo numérique et un modèle de carte mémoire compatible avec cet appareil.
Il a constaté, lors d'une précédente promotion, que :

  • 20 % des clients achètent l'appareil photo en promotion.
  • 70 % des clients qui achètent l'appareil photo en promotion achètent la carte mémoire en promotion.
  • 60 % des clients n'achètent ni l'appareil photo en promotion, ni la carte mémoire en promotion.

On suppose qu'un client achète au plus un appareil photo en promotion et au plus une carte mémoire en promotion.
Un client entre dans le magasin.
On note A l' évènement : « le client achète l'appareil photo en promotion ».
On note C l'évènement : « le client achète la carte mémoire en promotion ».

    1. Donner les probabilités p(A¯) et p(A¯C¯).

      20 % des clients achètent l'appareil photo en promotion d'où p(A)=0,2 et p(A¯)=1-p(A)soitp(A¯)=1-0,2=0,8

      60 % des clients n'achètent ni l'appareil photo en promotion, ni la carte mémoire en promotion d'où p(A¯C¯)=0,6

      Ainsi, p(A¯)=0,8 et p(A¯C¯)=0,6.


    2. Un client n'achète pas l'appareil photo en promotion. Calculer la probabilité qu'il n'achète pas non plus la carte mémoire en promotion.

      pA¯(C¯)=p(A¯C¯)p(A¯)soitpA¯(C¯)=0,60,8=0,75

      La probabilité qu'un client qui n'achète pas l'appareil photo en promotion n'achète pas non plus la carte mémoire en promotion est égale à 0,75.


  1. Construire un arbre pondéré représentant la situation.

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Montrer que la probabilité qu'un client achète la carte mémoire en promotion est 0,34.

    Les évènements A et C sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
    Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
    Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
    p(C)=p(AC)+p(A¯C)

    Or : p(AC)=pA(C)×p(A)etp(A¯C)=pA¯(C)×p(A¯)=(1-pA¯(C¯))×p(A¯)Soitp(AC)=0,7×0,2=0,14p(A¯C)=0,25×0,8=0,2

    Donc p(C)=0,14+0,2=0,34

    Ainsi, la probabilité qu'un client achète la carte mémoire en promotion est égale à 0,34.


  3. Un client achète la carte mémoire en promotion. Déterminer la probabilité que ce client achète aussi l'appareil photo en promotion.

    pC(A)=p(AC)p(C)soitpC(A)=0,140,34=717

    La probabilité qu'un client achète l'appareil photo en promotion sachant qu'il a acheté une carte mémoire en promotion est égale à 717.


  4. Le commerçant fait un bénéfice de 30 € sur chaque appareil photo en promotion et un bénéfice de 4 € sur chaque carte mémoire en promotion.

    1. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du bénéfice par client. Aucune justification n'est demandée.

      • Un client n'achète ni l'appareil photo en promotion, ni la carte mémoire en promotion, le bénéfice est nul et p(A¯C¯)=0,6.

      • Un client n'achète que la carte mémoire en promotion, le bénéfice est de 4 € et p(A¯C)=0,2.

      • Un client n'achète que l'appareil photo en promotion, le bénéfice est de 30 € et p(AC¯)=0,2×0,3=0,06.

      • Un client achète l'appareil photo en promotion et la carte mémoire en promotion, le bénéfice est de 34 € et p(AC)=0,14.

      D'où le tableau suivant donnant la loi de probabilité du bénéfice par client :

      Bénéfice par client en euros043034
      Probabilité d'atteindre le bénéfice0,60,20,060,14
    2. Pour 100 clients entrant dans son magasin, quel bénéfice le commerçant peut-il espérer tirer de sa promotion ?

      L'espérance mathématique du bénéfice est :0×0,6+4×0,2+30×0,06+34×0,14=7,36 Donc pour 100 clients, le commerçant peut espérer réaliser un bénéfice de 100×7,36=736

      Le commerçant peut espérer réaliser un bénéfice de 736 €


  5. Trois clients entrent dans le magasin. On suppose que leurs comportements d'achat sont indépendants.
    Déterminer la probabilité qu'au moins un de ces trois clients n'achète pas l'appareil photo en promotion.

    Les comportements d'achat des trois clients sont indépendants. Par conséquent, la loi de probabilité associée au nombre de clients qui achètent un appareil photo en promotion est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,2.

    « au moins un de ces trois clients n'achète pas l'appareil photo en promotion » est l'évènement contraire de l'évènement « les trois clients achètent un appareil photo en promotion ».

    Donc la probabilité qu'au moins un de ces trois clients n'achète pas l'appareil photo en promotion est : 1-(p(A)×p(A)×p(A))=1-0,23=0,992

    La probabilité qu'au moins un de ces trois clients n'achète pas l'appareil photo en promotion est égale à 0,992



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