sujet : amérique du nord

Corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a - étude préliminaire

1. Déterminer la valeur exacte de α .

   La courbe $C_g$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse α alors, α est solution de l'équation $g\left(x\right)=0$. Soit $$\begin{array}{ccc}1-2\ln \left(x\right)=0& \iff & 2\ln \left(x\right)=0\hfill \\ & \iff & \ln \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\hfill \\ & \iff & x={\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\mathrm{e}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $\alpha =\sqrt{\mathrm{e}}$

   ---

2. On admet que la fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$. Donner, en justifiant, le signe de $g\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

   La fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ alors pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ :$$\begin{array}{ccc}x<\sqrt{\mathrm{e}}\iff g\left(x\right)>g\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)& \text{Soit}& x<\sqrt{\mathrm{e}}\iff g\left(x\right)>0\end{array}$$ D'où le tableau établissant le signe de $g\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$

   x		0		$\sqrt{\mathrm{e}}$		$+\infty$
   Signe de $g\left(x\right)$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

partie b - étude d'une fonction

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)+1}{x}}$

1. Déterminer la limite de f en $+\infty$ (on rappelle que $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{x}}=0$).
   On admettra que $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{x}}=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}=0$ alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}=0$

   Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right){\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{x}}=0$

   ---

2. 1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ et montrer que $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{g\left(x\right)}{x^2}}$.

      Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $$\begin{array}{ccc}f={\displaystyle \frac{u}{v}}& \text{d'où}& f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}\end{array}$$

      Avec u et v fonctions définies sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par : $$\begin{array}{llll}& u\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+1& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}\\ \text{et}& v\left(x\right)=x& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=1\end{array}$$

      Donc pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ : $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{x}}\times x-\left(2\ln \left(x\right)+1\right)}{x^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1-2\ln \left(x\right)}{x^2}}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1-2\ln \left(x\right)}{x^2}}$. Soit $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{g\left(x\right)}{x^2}}$.

      ---

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ et en déduire le tableau de variations de la fonction f .

      Pour tout réel x, $x^2⩾0$. Donc sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $g\left(x\right)$

      Les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;20\right]$ se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variations :

      x		0			$\sqrt{\mathrm{e}}$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$			$-\infty$		$\frac{2}{\sqrt{\mathrm{e}}}$		0

      Calcul du maximum :$$f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)={\displaystyle \frac{2\ln \left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)+1}{\sqrt{\mathrm{e}}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\mathrm{e}}}}$$

3. 1. Déterminer une primitive F de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$. On pourra remarquer que $f\left(x\right)=2\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\times \ln \left(x\right)+{\displaystyle \frac{1}{x}}$

      Pour tout réel x strictement positif, posons $u\left(x\right)=\ln \left(x\right)$ d'où $u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ et $f=2uu\prime +u\prime$. Donc une primitive F de la fonction f est de la forme $$F=u^2+u$$ Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $$F\left(x\right)={\left(\ln \left(x\right)\right)}^2+\ln \left(x\right)$$

      Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)={\left(\ln \left(x\right)\right)}^2+\ln \left(x\right)$.

      ---

   2. Soit $I={\displaystyle \frac{1}{4}}{\displaystyle {\int }_1^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$. Déterminer la valeur exacte de I, puis en donner une valeur approchée au centième près.

      $$\begin{array}{ccc}I={\displaystyle \frac{1}{4}}{\displaystyle {\int }_1^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& \text{Soit}& I={\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\displaystyle {\left[{\left(\ln \left(x\right)\right)}^2+\ln \left(x\right)\right]}_1^5}\hfill \\ & \iff & I={\displaystyle \frac{1}{4}}\times \left[\left({\left(\ln 5\right)}^2+\ln 5\right)-\left({\left(\ln 1\right)}^2+\ln 1\right)\right]\hfill \\ & \iff & I={\displaystyle \frac{{\left(\ln 5\right)}^2+\ln 5}{4}}\hfill \end{array}$$

      $I={\displaystyle \frac{{\left(\ln 5\right)}^2+\ln 5}{4}}$. Soit arrondi au centième près 1,05.

      ---

partie c - Application économique

1. Déterminer, au centime près, la valeur moyenne du bénéfice unitaire pour une production hebdomadaire comprise entre 1 000 et 5 000 pièces.

   Le bénéfice unitaire, en fonction du nombre de pièces produites par semaine, peut être modélisé par la fonction f définie dans la partie B, avec x exprimé en milliers de pièces et $f\left(x\right)$ exprimé en euros. Par conséquent, la valeur moyenne du bénéfice unitaire pour une production hebdomadaire comprise entre 1 000 et 5 000 pièces est :$$\begin{array}{ccc}B={\displaystyle \frac{1}{5-1}}{\displaystyle {\int }_1^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& \text{Soit}& B=I\end{array}$$

   La valeur moyenne du bénéfice unitaire pour une production hebdomadaire comprise entre 1 000 et 5 000 pièces est égale à 1,05 €.

   ---

2. Dans cette question, la réponse sera soigneusement justifiée. Toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
   Pour quelle(s) production(s), arrondie(s) à l'unité près, obtient-on un bénéfice unitaire égal à 1,05 € ?

   On obtient un bénéfice unitaire égal à 1,05 € pour toute production x de l'intervalle $\left[0;5\right]$ solution de l'équation $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=\mathrm{1,05}& \text{soit}& {\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)+1}{x}}=\mathrm{1,05}\end{array}$$

   Or nous ne savons pas résoudre algébriquement l'équation ${\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)+1}{x}}=\mathrm{1,05}$. L'étude précédente des variations de la fonction f incite à utiliser le théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. sur chacun des intervalles où la fonction f est monotone afin de déterminer le nombre de solutions de l'équation ${\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)+1}{x}}=\mathrm{1,05}$.

   D'autre part, $f\left(1\right)=1$, $f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\mathrm{e}}}}\approx \mathrm{1,23}$ et $f\left(5\right)={\displaystyle \frac{2\ln \left(5\right)+1}{5}}\approx \mathrm{0,84}$. D'où :

   • $f\left(1\right)<\mathrm{1,05}<f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)$ donc l'équation ${\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)+1}{x}}=\mathrm{1,05}$ admet une solution unique $x_1\in \left]1;\sqrt{\mathrm{e}}\right[$

   • $f\left(5\right)<\mathrm{1,05}<f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)$ donc l'équation ${\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)+1}{x}}=\mathrm{1,05}$ admet une solution unique $x_2\in \left]\sqrt{\mathrm{e}};5\right[$

   Les valeurs approchées des deux solutions sont obtenues à la calculatrice en cherchant par exemple les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_f$ d'équation $y={\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)+1}{x}}$ avec la droite d'équation $y=\mathrm{1,05}$. Soit $x_1\approx \mathrm{1,056}$ et $x_2\approx \mathrm{3,119}$

   Arrondies à l'unité près, les deux productions qui permettent d'obtenir un bénéfice unitaire égal à 1,05 € sont 1056 pièces ou 3119 pièces.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.