sujet : amérique du nord

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a - étude préliminaire

On considère la fonction g définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=1-2\ln \left(x\right)$. On donne ci-dessous sa courbe représentative $C_g$ dans un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$. Cette courbe $C_g$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse α .

1. Déterminer la valeur exacte de α .

   α est solution de l'équation $g\left(x\right)=0$.

2. On admet que la fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.
   Donner, en justifiant, le signe de $g\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

partie b - étude d'une fonction

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)+1}{x}}$

1. Déterminer la limite de f en $+\infty$ (on rappelle que $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{x}}=0$).
   On admettra que $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

2. 1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ et montrer que $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{g\left(x\right)}{x^2}}$.

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ et en déduire le tableau de variations de la fonction f .

3. 1. Déterminer une primitive F de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$. On pourra remarquer que $f\left(x\right)=2\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\times \ln \left(x\right)+{\displaystyle \frac{1}{x}}$

      Pour tout réel x strictement positif, on pose $u\left(x\right)=\ln \left(x\right)$ d'où $u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$. f est de la forme $$f=2uu\prime +u\prime$$

   2. Soit $I={\displaystyle \frac{1}{4}}{\displaystyle {\int }_1^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$. Déterminer la valeur exacte de I, puis en donner une valeur approchée au centième près.

partie c - Application économique

Dans cette partie, on pourra utiliser certains résultats de la partie B.

Une entreprise de sous-traitance fabrique des pièces pour l'industrie automobile. Sa production pour ce type de pièces varie entre 1 000 et 5 000 pièces par semaine, selon la demande.
On suppose que toutes les pièces produites sont vendues.
Le bénéfice unitaire, en fonction du nombre de pièces produites par semaine, peut être modélisé par la fonction f définie dans la partie B, avec x exprimé en milliers de pièces et $f\left(x\right)$ exprimé en euros.

1. Déterminer, au centime près, la valeur moyenne du bénéfice unitaire pour une production hebdomadaire comprise entre 1 000 et 5 000 pièces.

2. Dans cette question, la réponse sera soigneusement justifiée. Toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

   Pour quelle(s) production(s), arrondie(s) à l'unité près, obtient-on un bénéfice unitaire égal à 1,05 € ?

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.