sujet : Antilles Guyane

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

La courbe $C_f$ donnée en annexe 1 est la représentation graphique dans un repère orthogonal d'une fonction f définie, dérivable et strictement décroissante sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ .
La courbe $C_f$ passe par le point de coordonnées $\left(3;0\right)$ ; on sait de plus que la droite d'équation $y=-2$ est asymptote à la courbe $C_f$.

1^re partie  Étude préliminaire de f

Dans cette partie, aucune justification n'est demandée.

1. Donner la limite de f en $+\infty$ .

   La droite d'équation $y=-2$ est asymptote à la courbe $C_f$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-2$

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2. Résoudre graphiquement l'équation $f\left(x\right)=0$.

   La courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses en un seul point de coordonnées $\left(3;0\right)$

   L'équation $f\left(x\right)=0$ admet pour unique solution 3.

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3. Préciser le signe de f sur $\left[1;+\infty \right[$ .

   Les points de la courbe $C_f$ situés au dessus de l'axe des abscisses ont une abscisse $x\in \left[1;3\right]$. D'où le tableau établissant le signe de $g\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$

   x	1		3		$+\infty$
   Signe de $f\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

2^e partie  Étude d'une fonction composée

Pour cette partie, des justifications sont attendues.

Soit la fonction g définie sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=\exp \left(f\left(x\right)\right)$.

1. Déterminer la limite de g lorsque x tend vers $+\infty$ .

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-2$ et $\underset{X\to -2}{\lim }{\mathrm{e}}^X={\mathrm{e}}^{-2}$ alors par composition , $\underset{x\to +\infty }{\lim }\exp \left(f\left(x\right)\right)={\mathrm{e}}^{-2}$

   Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-2}$

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2. Résoudre sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ l'équation $g\left(x\right)=1$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$, $$\begin{array}{ccc}g\left(x\right)=1& \iff & \exp \left(f\left(x\right)\right)=1\hfill \\ & \iff & f\left(x\right)=0\hfill \\ & \iff & x=3\hfill \end{array}$$

   L'équation $g\left(x\right)=1$ admet pour solution 3.

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3^e partie

La fonction f est la dérivée d'une fonction F définie sur $\left[1;+\infty \right[$ .

1. La fonction F est représentée sur l'une des 3 courbes données en annexe 2. Préciser laquelle, en justifiant votre réponse.

   La fonction f est la dérivée d'une fonction F donc les variations de F se déduisent du signe de f d'où le tableau des variations de F

   x	1		3		$+\infty$
   $f\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $F\left(x\right)$

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   La courbe 2 est la seule courbe qui convienne.

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   Courbe 1

   Courbe 2

   Courbe 3

2. Déterminer graphiquement $F\left(2\right)$ et $F\left(3\right)$ avec la précision permise par le graphique.

   Avec la précision permise par le graphique, on trouve $F\left(2\right)\approx \mathrm{0,5}$ et $F\left(3\right)\approx \mathrm{0,5}$

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3. On s'intéresse au domaine du plan délimité par la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=2$ et $x=3$. On notera A l'aire de ce domaine, exprimée en unités d'aire.
   Donner une méthode permettant de déterminer une valeur approchée de l'aire du domaine précédemment défini et en donner une estimation.

   La fonction f est la dérivée d'une fonction F définie sur $\left[1;+\infty \right[$ alors F est une primitive de f.

   Sur l'intervalle $\left[1;3\right]$, f est continue et positive par conséquent, l'aire du domaine du plan délimité par la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=2$ et $x=3$ exprimée en unité d'aire est : $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_2^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(3\right)-F\left(2\right)\hfill \\ & \approx & 2-\mathrm{0,5}=\mathrm{1,5}\hfill \end{array}$$

   L'aire du domaine du plan délimité par la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=2$ et $x=3$ vaut environ 1,5 unités d'aire.

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4^e partie

On donne l'expression de la fonction f définie sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ par : $f\left(x\right)=2{\mathrm{e}}^{-x+3}-2$.

Calculer l'aire A du domaine (en unités d'aire) ; on donnera la valeur exacte à l'aide du réel e, puis l'arrondi au centième.

Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ par : $$F\left(x\right)=-2{\mathrm{e}}^{-x+3}-2x$$

Par conséquent, l'aire A du domaine du plan délimité par la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=2$ et $x=3$ exprimée en unité d'aire est : $$\begin{array}{ccc}A={\displaystyle {\int }_2^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& \text{Soit}& A={\displaystyle {\left[-2{\mathrm{e}}^{-x+3}-2x\right]}_2^3}\hfill \\ & \iff & A=\left(-2{\mathrm{e}}^0-6\right)-\left(-2{\mathrm{e}}^1-4\right)\hfill \\ & \iff & A=-8+2\mathrm{e}+4\hfill \\ & \iff & A=2\mathrm{e}-4\approx \mathrm{1,44}\hfill \end{array}$$

L'aire A du domaine est égale à $2\mathrm{e}-4$ unités d'aire. Soit arrondie au centième, 1,44 unités d'aire.

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