sujet : Antilles Guyane

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

1. Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;20\right]$ par $f\left(x\right)=\mathrm{0,3}x+\mathrm{1,5}-\mathrm{0,9}\ln \left(x+1\right)$.
   On admet que f est dérivable sur l'intervalle $\left[0;20\right]$. Étudier les variations de f sur $\left[0;20\right]$ et dresser son tableau de variation.

   La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur l'intervalle $\left[0;20\right]$ par $$f\prime \left(x\right)=\mathrm{0,3}-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,9}}{x+1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}{x+1}}$$

   Sur l'intervalle $\left[0;20\right]$, $x+1>0$ et $\begin{array}{ccc}\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}>0& \iff & x>2\end{array}$

   Les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;20\right]$ se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variations :

   x	0		2		20
   Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)$

2. On donne la fonction g définie sur l'intervalle $\left[0;20\right]$ par $g\left(x\right)=-\mathrm{0,05}x-\mathrm{1,5}+\mathrm{0,9}\ln \left(x+1\right)$.
   On admet que g est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;17\right]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $\left[0;17\right]$.

   1. Justifier qu'il existe un unique réel $x_0$ dans l'intervalle $\left[0;17\right]$ tel que $g\left(x_0\right)=0$. Donner un encadrement de $x_0$ d'amplitude 10^{− 2}.

      Sur l'intervalle $\left[0;20\right]$, la fonction g est dérivable comme somme de fonctions dérivables. Donc g est continue sur cet intervalle.

      $g\left(0\right)=-\mathrm{1,5}$ et $g\left(17\right)=-\mathrm{2,35}+\mathrm{0,9}\ln \left(18\right)\approx \mathrm{0,25}$

      Sur l'intervalle $\left[0;17\right]$, la fonction g est strictement croissante, continue et $g\left(0\right)<0<g\left(17\right)$ Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$., l'équation $g\left(x\right)=0$ admet une solution unique $x_0\in \left]11;12\right[$.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve $\mathrm{6,66}<x_0<\mathrm{6,67}$

      Ainsi, l'équation $g\left(x\right)=0$ admet une solution unique $x_0\in \left]11;12\right[$.

      ---

   2. En déduire le signe de g (x) sur $\left[0;20\right]$.

      • Sur l'intervalle $\left[0;17\right]$, g est strictement croissante donc sur cet intervalle, $$\begin{array}{cccc}& x<x_0& \iff & g\left(x\right)<g\left(x_0\right)\hfill \\ \text{Soit}& x<x_0& \iff & g\left(x\right)<0\hfill \end{array}$$

      • Sur l'intervalle $\left[0;17\right]$, g est strictement décroissante donc sur cet intervalle, $$\begin{array}{cccc}& x⩽20& \iff & g\left(x\right)⩾g\left(20\right)\hfill \end{array}$$ Or $g\left(20\right)=-\mathrm{2,5}+\mathrm{0,9}\ln \left(21\right)\approx \mathrm{0,24}$. Donc si $17⩽x⩽20$ alors, $g\left(x\right)>0$

      Ainsi, $g\left(x\right)$ est négatif pour tout $x\in \left]0;x_0\right[$ et $g\left(x\right)$ est positif pour tout $x\in \left]x_0;20\right]$.

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partie b

Dans cette partie, on pourra utiliser les résultats de la partie A. On demande de justifier les réponses

Dans une petite ville, un promoteur immobilier projette de construire un lotissement dont le nombre de maisons ne pourra pas dépasser 20 maisons construites.
Le coût de production, en millions d'euros, pour n maisons construites ($0⩽n⩽20$) est donné par $C\left(n\right)=\mathrm{0,3}n+\mathrm{1,5}-\mathrm{0,9}\ln \left(n+1\right)$.
Chaque maison est vendue 250 000 euros.

1. 1. Calculer $C\left(0\right)$. Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

      $C\left(0\right)=\mathrm{1,5}-\mathrm{0,9}\ln \left(1\right)=\mathrm{1,5}$

      Les coûts fixes du promoteur sélèvent à 1,5 millions d'euros.

      ---

   2. Combien de maisons le promoteur doit-il prévoir de construire pour que le coût de production soit minimal ?

      Les coûts de production d'une entreprise augmentent au fur et à mesure que l'entreprise augmente son volume de production, par conséquent, seule une fonction croissante peut servir de modèle mathématique à une fonction coût de production. Dans ce contexte, un coût de production minimal n'a pas de sens.

      La fonction f étudiée dans la partie A admet un minimum pour $x=2$. Cette fonction ne convient pas pour modéliser le coût de production sur l'intervalle $\left[0;20\right]$. Elle ne peut convenir que pour un nombre de maisons $n⩾2$.

2. 1. Montrer que le bénéfice réalisé pour la fabrication de n maisons est, en millions d'euros, donné par $B\left(n\right)=-\mathrm{0,05}n-\mathrm{1,5}+\mathrm{0,9}\ln \left(n+1\right)$.

      Chaque maison est vendue 250 000 euros soit 0,25 millions d'euros. La recette obtenue, en millions d'euros, pour la vente de n maisons est $R\left(n\right)=\mathrm{0,25}n$. Le bénéfice réalisé pour la fabrication et la vente de n maisons est $$\begin{array}{ccc}B\left(n\right)=R\left(n\right)-C\left(n\right)& \text{Soit}& B\left(n\right)=\mathrm{0,25}n-\left(\mathrm{0,3}n+\mathrm{1,5}-\mathrm{0,9}\ln \left(n+1\right)\right)\hfill \\ & \iff & B\left(n\right)=-\mathrm{0,05}n-\mathrm{1,5}+\mathrm{0,9}\ln \left(n+1\right)\hfill \end{array}$$

      Le bénéfice réalisé pour la fabrication de n maisons est, en millions d'euros, donné par $B\left(n\right)=-\mathrm{0,05}n-\mathrm{1,5}+\mathrm{0,9}\ln \left(n+1\right)$.

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   2. Déterminer le nombre de maisons à construire pour que le bénéfice soit maximal. Quel est alors ce bénéfice (à 100 euros près) ?

      D'après les variations de la fonction g de la partie A, le bénéfice maximal est obtenu pour la construction et la vente de 17 maisons et $$B\left(17\right)=-\mathrm{2,35}+\mathrm{0,9}\ln \left(18\right)\approx \mathrm{0,251335}$$

      Le bénéfice maximal est obtenu pour la construction et la vente de 17 maisons, il s'élève à 251 300 €

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   3. Déterminer le nombre minimal de maisons à construire pour que le promoteur ne travaille pas à perte.

      Le nombre minimal de maisons à construire pour que le promoteur ne travaille pas à perte est le plus petit entier n tel que $B\left(n\right)⩾0$.
      Soit d'après l'étude du signe de la fonction g dans la partie A :$$\begin{array}{ccc}n⩾x_0& \text{d'où}& n>\mathrm{6,67}\end{array}$$

      Pour que le promoteur ne travaille pas à perte il devra construire et vendre au moins 7 maisons.

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      Pour la question suivante, on explicitera la démarche utilisée. Toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

   4. À partir de combien de maisons construites le bénéfice du promoteur est-il supérieur à 200 000 euros ?

      • Sur l'intervalle $\left[0;17\right]$, le théorème de la valeur intermédiaire permet de conclure que l'équation $g\left(x\right)=\mathrm{0,2}$ admet une solution unique $x_1\in \left]11;12\right[$.
        La fonction g étant croissante sur cet intervalle, nous pouvons en déduire que si $12⩽n⩽17$ alors $B\left(n\right)⩾\mathrm{0,2}$.

      • Sur l'intervalle $\left[0;17\right]$, $g\left(x\right)>g\left(20\right)>\mathrm{0,24}$ D'où si $n⩾17$ alors $B\left(n\right)⩾\mathrm{0,2}$.

      Le bénéfice du promoteur est supérieur à 200 000 euros s'il produit et vend au moins 12 maisons.

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