sujet : Antilles Guyane

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

M. et M^me Martin, qui habitent une grand ville, aiment beaucoup voyager. Ils prévoient toujours de partir pendant l'été, soit à l'étranger, soit de visiter une région en France.
S'ils sont restés en France une année donnée, la probabilité qu'ils partent à l'étranger l'année suivante est de 0,4.
Par contre, s'ils sont partis à l'étranger une année donnée, la probabilité qu'ils retournent à l'étranger l'années suivante est de 0,7.
En été 2009, ce couple est parti à l'étranger.
Pour tout entier naturel n, on note $P_n$ la matrice ligne $\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)$ traduisant l'état probabiliste l'année (2009 + n), où $a_n$ désigne la probabilité que ce couple soit resté en France l'année (2009 + n) et $b_n$ la probabilité que ce couple soit parti à l'étranger l'année (2009 + n).

partie a

1. 1. Traduire les données par un graphe probabiliste dont les sommets seront notés F et E (F pour France et E pour étranger).

   2. En déduire la matrice de transition en prenant tout d'abord F puis E pour l'ordre des sommets. On notera M cette matrice.

2. 1. Donner $P_0$, l'état probabiliste initial, l'année 2009.

   2. On donne les résultats suivants : $M^2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,48}& \mathrm{0,52}\\ \mathrm{0,39}& \mathrm{0,61}\end{array}\right)$ ; $M^3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,444}& \mathrm{0,556}\\ \mathrm{0,417}& \mathrm{0,583}\end{array}\right)$ ; $M^4=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4332}& \mathrm{0,5668}\\ \mathrm{0,4251}& \mathrm{0,5749}\end{array}\right)$.
      En choisissant la bonne matrice, calculer $P_3$. En déduire la probabilité que ce couple parte à l'étranger en 2012 (On donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième).

3. Soit P la matrice ligne $\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ donnant l'état stable où x et y sont deux réels positifs tels que $x+y=1$.
   Déterminer l'état stable puis interpréter le résultat.

   Les termes de la matrice de tansition M du graphe probabiliste d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état $P_n$ converge indépendamment de l'état initial, vers un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $P=PM$ et $x+y=1$.

partie b

1. Montrer que pour tout entier naturel n on a : $a_{n+1}=\mathrm{0,3}{a}_n+\mathrm{0,3}$.

   Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{ccc}{P}_{n+1}=P_n\times M& \text{avec}& a_n+b_n=1\end{array}$$

2. Pour tout entier naturel n, on pose $u_n=a_n-{\displaystyle \frac{3}{7}}$.

   1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

   2. En déduire l'expression de $u_n$ , puis celle de $a_n$ en fonction de n.

   3. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ lorsque n tend vers $+\infty$ . Que retrouve-t-on ?

      $0<\mathrm{0,3}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,3}}^n=0$

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