sujet : Antilles Guyane

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie 1

Pour chacune des questions ci-dessous, trois réponses sont proposées et une seule est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,25.L'absence de réponse ne rapporte, ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

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1. Le taux d'augmentation du nombre de spectateurs de 1997 à 1999 est donné par le calcul suivant :

   Le coefficient multiplicateur associé au taux d'augmentation du nombre de spectateurs de 1997 à 1999 est $${\displaystyle \frac{\mathrm{153,6}}{\mathrm{149,3}}}$$ Soit un taux d'augmentation de $$\left({\displaystyle \frac{\mathrm{153,6}}{\mathrm{149,3}}}-1\right)$$

   ${\displaystyle \frac{\mathrm{153,6}}{\mathrm{149,3}}}$

   ${\displaystyle \frac{\mathrm{153,6}-\mathrm{149,3}}{\mathrm{153,6}}}$

   $\left({\displaystyle \frac{\mathrm{153,6}}{\mathrm{149,3}}}-1\right)$

2. En supposant que le nombre de spectateurs augmente de 1 % tous les ans, à partir de 2007, le nombre de spectateurs en 2010 est donné par le calcul suivant :

   Le coefficient multiplicateur associé à taux d'augmentation de 1 % tous les ans est égal à 1,01. Par conséquent, si le nombre de spectateurs augmente de 1 % tous les ans, à partir de 2007, le nombre (en millions) de spectateurs en 2010 est $$\mathrm{177,9}\times \mathrm{1,01}\times \mathrm{1,01}\times \mathrm{1,01}=\mathrm{177,9}\times {\mathrm{1,01}}^3$$

   $\left(\mathrm{1,01}\times \mathrm{177,9}\right)\times 3$

   ${\mathrm{1,01}}^3\times \mathrm{177,9}$

   ${\mathrm{0,01}}^3\times \mathrm{177,9}$

3. Entre 1997 et 2007 , l'augmentation annuelle moyenne, en pourcentage, du nombre de spectateurs est, arrondie à 0,01 % :

   Le coefficient multiplicateur associé au taux d'augmentation du nombre de spectateurs de 1997 à 2007 est $${\displaystyle \frac{\mathrm{177,9}}{\mathrm{149,3}}}$$

   Le coefficient multiplicateur associé à un taux d'évolution moyen annuel de t % est égal à $1+{\displaystyle \frac{t}{100}}$. Par conséquent t vérifie $$\begin{array}{ccc}{\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^{10}={\displaystyle \frac{\mathrm{177,9}}{\mathrm{149,3}}}& \iff & \left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{177,9}}{\mathrm{149,3}}}\right)}^{\frac{1}{10}}\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{177,9}}{\mathrm{149,3}}}\right)}^{\mathrm{0,1}}-1\hfill \\ & \text{Soit}& t\approx \mathrm{1,77}\hfill \end{array}$$

   1,77%

   1,92%

   3,57%

4. Sachant que de 1998 à 1999, le nombre de spectateurs (en millions) dans les cinémas en France a diminué de 10 %, le nombre de spectateurs (en millions) en 1998 arrondi au dixième était :

   Le coefficient multiplicateur associé à une diminution de 10 % est égal à 0,9. Donc le nombre x de spectateurs (en millions) en 1998 était $$\begin{array}{ccc}\mathrm{0,9}x=\mathrm{153,6}& \iff & x={\displaystyle \frac{\mathrm{153,6}}{\mathrm{0,9}}}\approx \mathrm{170,7}\end{array}$$

   139,6

   170,7

   138,2

5. On considère un nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$, pour $1⩽i⩽6$, construit à partir des données du tableau donné en début d'exercice. Les coordonnées du point moyen de ce nuage sont :

   Les coordonnées du point moyen $G\left(\overline{x};\overline{y}\right)$ de ce nuage sont :$$\begin{array}{ccc}\overline{x}={\displaystyle \frac{0+2+4+6+8+10}{6}}=5& \text{et}& \overline{y}={\displaystyle \frac{\mathrm{149,3}+\mathrm{153,6}+\mathrm{187,5}+\mathrm{173,5}+\mathrm{175,5}+\mathrm{177,9}}{6}}=\mathrm{169,55}\end{array}$$

   $\left(2002;\mathrm{169,55}\right)$

   $\left(5;\mathrm{169,55}\right)$

   $\left(30;\mathrm{1017,3}\right)$

6. Supposons que l'on ait effectué un ajustement affine du nuage de points par la méthode des moindres carrés. (Dans l'équation de la droite de régression de y en x de la forme $y=ax+b$, on choisira les coefficients a et b arrondis au dixième). D'après cet ajustement :

   Une équation de la droite d d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $y=\mathrm{2,8}x+\mathrm{155,6}$ (coefficients arrondis au dixième)

   1. Le nombre de spectateurs sera d'environ 200 millions en :

      Le nombre de spectateurs sera d'environ 200 millions pour le rang n de l'année solution de l'équation $$\begin{array}{ccc}\mathrm{2,8}n+\mathrm{155,6}=200& \iff & \mathrm{2,8}n=200-\mathrm{155,6}\hfill \\ & \iff & n={\displaystyle \frac{\mathrm{44,4}}{\mathrm{2,8}}}\approx \mathrm{15,9}\hfill \end{array}$$ Soit en 2013

      2015

      2013

      2010

   2. L'estimation (en millions) arrondi au dixième, du nombre de spectateurs en 2015 est :

      Le rang de l'années 2015 est égal à 18 et $$\mathrm{2,8}\times 18+\mathrm{155,6}=206$$

      11 439,6

      228,4

      206

partie 2

Justifier la réponse donnée à la question 3 de la partie 1.

Soit $1+{\displaystyle \frac{t}{100}}$ le coefficient multiplicateur associé à un taux d'évolution moyen annuel de t % entre 1997 et 2007. t est solution de $$\begin{array}{ccc}\mathrm{149,3}\times {\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^{10}=\mathrm{177,9}& \iff & {\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^{10}={\displaystyle \frac{\mathrm{177,9}}{\mathrm{149,3}}}\hfill \\ & \iff & \left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{177,9}}{\mathrm{149,3}}}\right)}^{\frac{1}{10}}\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{177,9}}{\mathrm{149,3}}}\right)}^{\mathrm{0,1}}-1\hfill \\ & \text{Soit}& t\approx \mathrm{1,77}\hfill \end{array}$$

Entre 1997 et 2007 , l'augmentation annuelle moyenne, en pourcentage, du nombre de spectateurs est, arrondie à 0,01 % de 1,77%

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