Baccalauréat juin 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $[0; 20]$ par $f (x) = 0,3 x + 1,5 - 0,9 \ln (x + 1)$ .
On admet que f est dérivable sur l'intervalle $[0; 20]$ . Étudier les variations de f sur $[0; 20]$ et dresser son tableau de variation.
On donne la fonction g définie sur l'intervalle $[0; 20]$ par $g (x) = - 0,05 x - 1,5 + 0,9 \ln (x + 1)$ .
On admet que g est strictement croissante sur l'intervalle $[0; 17]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[0; 17]$ .
1. Justifier qu'il existe un unique réel $x_{0}$ dans l'intervalle $[0; 17]$ tel que $g (x_{0}) = 0$ . Donner un encadrement de $x_{0}$ d'amplitude 10^{− 2}.
  théorème de la valeur intermédiaire :
  Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ .
2. En déduire le signe de g (x) sur $[0; 20]$ .

partie b

Dans cette partie, on pourra utiliser les résultats de la partie A. On demande de justifier les réponses

Dans une petite ville, un promoteur immobilier projette de construire un lotissement dont le nombre de maisons ne pourra pas dépasser 20 maisons construites.
Le coût de production, en millions d'euros, pour n maisons construites ( $0 ⩽ n ⩽ 20$ ) est donné par $C (n) = 0,3 n + 1,5 - 0,9 \ln (n + 1)$ .
Chaque maison est vendue 250 000 euros.

1. Calculer $C (0)$ . Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
2. Combien de maisons le promoteur doit-il prévoir de construire pour que le coût de production soit minimal ?
1. Montrer que le bénéfice réalisé pour la fabrication de n maisons est, en millions d'euros, donné par $B (n) = - 0,05 n - 1,5 + 0,9 \ln (n + 1)$ .
  Chaque maison est vendue 250 000 euros soit 0,25 millions d'euros. La recette obtenue, en millions d'euros, pour la vente de n maisons est $R (n) = 0,25 n$ .
  Le bénéfice réalisé pour la fabrication et la vente de n maisons est $B (n) = R (n) - C (n)$
2. Déterminer le nombre de maisons à construire pour que le bénéfice soit maximal. Quel est alors ce bénéfice (à 100 euros près) ?
3. Déterminer le nombre minimal de maisons à construire pour que le promoteur ne travaille pas à perte.
  Pour la question suivante, on explicitera la démarche utilisée. Toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
4. À partir de combien de maisons construites le bénéfice du promoteur est-il supérieur à 200 000 euros ?

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