sujet : Antilles Guyane

indications pour l'exercice 1 : commun à tous les candidats

La courbe $C_f$ donnée en annexe 1 est la représentation graphique dans un repère orthogonal d'une fonction f définie, dérivable et strictement décroissante sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ .
La courbe $C_f$ passe par le point de coordonnées $\left(3;0\right)$ ; on sait de plus que la droite d'équation $y=-2$ est asymptote à la courbe $C_f$.

1^re partie  Étude préliminaire de f

Dans cette partie, aucune justification n'est demandée.

1. Donner la limite de f en $+\infty$ .

2. Résoudre graphiquement l'équation $f\left(x\right)=0$.

3. Préciser le signe de f sur $\left[1;+\infty \right[$ .

2^e partie  Étude d'une fonction composée

Pour cette partie, des justifications sont attendues.

Soit la fonction g définie sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=\exp \left(f\left(x\right)\right)$.

1. Déterminer la limite de g lorsque x tend vers $+\infty$ .

2. Résoudre sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ l'équation $g\left(x\right)=1$.

3^e partie

La fonction f est la dérivée d'une fonction F définie sur $\left[1;+\infty \right[$ .

1. La fonction F est représentée sur l'une des 3 courbes données en annexe 2. Préciser laquelle, en justifiant votre réponse.

   La fonction f est la dérivée d'une fonction F donc les variations de F se déduisent du signe de f

2. Déterminer graphiquement $F\left(2\right)$ et $F\left(3\right)$ avec la précision permise par le graphique.

3. On s'intéresse au domaine du plan délimité par la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=2$ et $x=3$. On notera A l'aire de ce domaine, exprimée en unités d'aire.
   Donner une méthode permettant de déterminer une valeur approchée de l'aire du domaine précédemment défini et en donner une estimation.

   Sur l'intervalle $\left[2;3\right]$, f est continue et positive par conséquent, l'aire du domaine du plan délimité par la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=2$ et $x=3$ exprimée en unité d'aire est l'intégrale $\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_2^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}\end{array}$

4^e partie

On donne l'expression de la fonction f définie sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ par : $f\left(x\right)=2{\mathrm{e}}^{-x+3}-2$.
Calculer l'aire A du domaine (en unités d'aire) ; on donnera la valeur exacte à l'aide du réel e, puis l'arrondi au centième.

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annexe 2

Courbe 1

Courbe 2

Courbe 3

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