Baccalauréat juin 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

M. et Mme Martin, qui habitent une grand ville, aiment beaucoup voyager. Ils prévoient toujours de partir pendant l'été, soit à l'étranger, soit de visiter une région en France.
S'ils sont restés en France une année donnée, la probabilité qu'ils partent à l'étranger l'année suivante est de 0,4.
Par contre, s'ils sont partis à l'étranger une année donnée, la probabilité qu'ils retournent à l'étranger l'années suivante est de 0,7.
En été 2009, ce couple est parti à l'étranger.
Pour tout entier naturel n, on note Pn la matrice ligne (anbn) traduisant l'état probabiliste l'année (2009 + n), où an désigne la probabilité que ce couple soit resté en France l'année (2009 + n) et bn la probabilité que ce couple soit parti à l'étranger l'année (2009 + n).

partie a

    1. Traduire les données par un graphe probabiliste dont les sommets seront notés F et E (F pour France et E pour étranger).

      Soient Fn l'évènement : « M. et Mme Martin sont restés en France l'année 2009 + n » et En l'évènement : « M. et Mme Martin sont partis à l'étranger l'année 2009 + n ».

      Si M. et Mme Martin sont restés en France une année donnée, la probabilité qu'ils partent à l'étranger l'année suivante est de 0,4. Donc pFn(En+1)=0,4 d'où pFn(Fn+1)=1-0,4=0,6 Si M. et Mme Martin sont partis à l'étranger une année donnée, la probabilité qu'ils retournent à l'étranger l'années suivante est de 0,7. Donc pEn(En+1)=0,7d'oùpEn(Fn+1)=1-0,7=0,3

      Le graphe probabiliste qui représente la situation est donc :

      Graphe probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. En déduire la matrice de transition en prenant tout d'abord F puis E pour l'ordre des sommets. On notera M cette matrice.

      La matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets F et E dans cet ordre est M=(0,60,40,30,7)


    1. Donner P0, l'état probabiliste initial, l'année 2009.

      En été 2009, le couple est parti à l'étranger donc l'état probabiliste initial est P0=(01)


    2. On donne les résultats suivants : M2=(0,480,520,390,61) ; M3=(0,4440,5560,4170,583) ; M4=(0,43320,56680,42510,5749).
      En choisissant la bonne matrice, calculer P3. En déduire la probabilité que ce couple parte à l'étranger en 2012 (On donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième).

      P3=P0×M3SoitP3=(01)×(0,4440,5560,4170,583)P3=(0,4170,583)

      P3=(0,4170,583). Donc arrondie au centième, la probabilité que ce couple parte à l'étranger en 2012 est 0,58.


  1. Soit P la matrice ligne (xy) donnant l'état stable où x et y sont deux réels positifs tels que x+y=1.
    Déterminer l'état stable puis interpréter le résultat.

    Les termes de la matrice de tansition M du graphe probabiliste d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état Pn converge indépendamment de l'état initial, vers un état stable P=(xy) avec P=PM et x+y=1. Soit (xy)=(xy)×(0,60,40,30,7)etx+y=1

    D'où x et y sont solutions du système {x=0,6x+0,3yy=0,4x+0,7yx+y=1{0,4x-0,3y=0-0,4x+0,3y=0x+y=1{0,4x-0,3y=0x+y=1{0,7x=0,3x+y=1{x=37y=47

    L'état stable est P=(3747). À long terme, chaque année, la probabilité que M. et Mme Martin visitent une région en France est égale à 37 et la probabilité qu'ils partent à l'étranger est égale à 47.


partie b

  1. Montrer que pour tout entier naturel n on a : an+1=0,3an+0,3.

    Pour tout entier naturel n, Pn+1=Pn×MSoit(an+1bn+1)=(anbn)×(0,60,40,30,7)(an+1bn+1)=(0,6an+0,3bn0,4an+0,7bn)

    Or pour tout entier naturel n, an+bn=1 D'où an+1=0,6an+0,3(1-an)an+1=0,6an+0,3-0,3anan+1=0,3an+0,3

    Ainsi, pour tout entier naturel n, an+1=0,3an+0,3.


  2. Pour tout entier naturel n, on pose un=an-37.

    1. Montrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

      Pour tout entier naturel n, un+1=an+1-37un+1=0,3an+0,3-37un+1=0,3an-0,97un+1=0,3(an-37)un+1=0,3un

      Ainsi, pour tout entier naturel n, un+1=0,3un donc (un) est une suite géométrique de raison 0,3.

      u0=a0-37Soitu0=-37

      (un) est une suite géométrique de raison 0,3 et de premier terme u0=-37.


    2. En déduire l'expression de un , puis celle de an en fonction de n.

      (un) est une suite géométrique de raison 0,3 et de premier terme u0=-37 alors, pour tout entier naturel n, un=-37×0,3n

      Or un=an-37 d'où pour tout entier naturel n, an=37-37×0,3n=37×(1-0,3n)

      Ainsi, (an) est la suite définie pour tout entier naturel n par an=37×(1-0,3n)


    3. Déterminer la limite de la suite (an) lorsque n tend vers + . Que retrouve-t-on ?

      0<0,3<1 donc limn+0,3n=0 et limn+37×(1-0,3n)=37

      La suite (an) converge vers 37. On retrouve le résultat de la partie A c'est à dire qu'à long terme, chaque année, la probabilité que M. et Mme Martin visitent une région en France est égale à 37.



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