M. et Mme Martin, qui habitent une grand ville, aiment beaucoup voyager. Ils prévoient toujours de partir pendant l'été, soit à l'étranger, soit de visiter une région en France.
S'ils sont restés en France une année donnée, la probabilité qu'ils partent à l'étranger l'année suivante est de 0,4.
Par contre, s'ils sont partis à l'étranger une année donnée, la probabilité qu'ils retournent à l'étranger l'années suivante est de 0,7.
En été 2009, ce couple est parti à l'étranger.
Pour tout entier naturel n, on note la matrice ligne traduisant l'état probabiliste l'année (2009 + n), où désigne la probabilité que ce couple soit resté en France l'année (2009 + n) et la probabilité que ce couple soit parti à l'étranger l'année (2009 + n).
Traduire les données par un graphe probabiliste dont les sommets seront notés F et E (F pour France et E pour étranger).
Soient l'évènement : « M. et Mme Martin sont restés en France l'année 2009 + n » et l'évènement : « M. et Mme Martin sont partis à l'étranger l'année 2009 + n ».
Si M. et Mme Martin sont restés en France une année donnée, la probabilité qu'ils partent à l'étranger l'année suivante est de 0,4. Donc Si M. et Mme Martin sont partis à l'étranger une année donnée, la probabilité qu'ils retournent à l'étranger l'années suivante est de 0,7. Donc
Le graphe probabiliste qui représente la situation est donc :
En déduire la matrice de transition en prenant tout d'abord F puis E pour l'ordre des sommets. On notera M cette matrice.
La matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets F et E dans cet ordre est
Donner , l'état probabiliste initial, l'année 2009.
En été 2009, le couple est parti à l'étranger donc l'état probabiliste initial est
On donne les résultats suivants : ; ; .
En choisissant la bonne matrice, calculer . En déduire la probabilité que ce couple parte à l'étranger en 2012 (On donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième).
. Donc arrondie au centième, la probabilité que ce couple parte à l'étranger en 2012 est 0,58.
Soit P la matrice ligne donnant l'état stable où x et y sont deux réels positifs tels que .
Déterminer l'état stable puis interpréter le résultat.
Les termes de la matrice de tansition M du graphe probabiliste d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état converge indépendamment de l'état initial, vers un état stable avec et . Soit
D'où x et y sont solutions du système
L'état stable est . À long terme, chaque année, la probabilité que M. et Mme Martin visitent une région en France est égale à et la probabilité qu'ils partent à l'étranger est égale à .
Montrer que pour tout entier naturel n on a : .
Pour tout entier naturel n,
Or pour tout entier naturel n, D'où
Ainsi, pour tout entier naturel n, .
Pour tout entier naturel n, on pose .
Montrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Pour tout entier naturel n,
Ainsi, pour tout entier naturel n, donc est une suite géométrique de raison 0,3.
est une suite géométrique de raison 0,3 et de premier terme .
En déduire l'expression de , puis celle de en fonction de n.
est une suite géométrique de raison 0,3 et de premier terme alors, pour tout entier naturel n,
Or d'où pour tout entier naturel n,
Ainsi, est la suite définie pour tout entier naturel n par
Déterminer la limite de la suite lorsque n tend vers . Que retrouve-t-on ?
donc et
La suite converge vers . On retrouve le résultat de la partie A c'est à dire qu'à long terme, chaque année, la probabilité que M. et Mme Martin visitent une région en France est égale à .
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