Baccalauréat juin 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un bijoutier propose des perles de culture pour fabriquer des bijoux. Il dispose dans son stock de deux types de couleurs : les perles argentées et les perles noires.
Chacune de ces perles a :

  • soit une forme dite sphérique ;
  • soit une forme dite équilibrée ;
  • soit une forme dite baroque.

On sait que dans son stock, 44 % des perles sont équilibrées, deux cinquièmes sont baroques et les autres sont sphériques. De plus, 60 % des perles sont argentées dont 15 % sont sphériques et la moitié sont baroques.

  1. Recopier le tableau des pourcentages ci-dessous et le compléter à l'aide des données de l'énoncé (on ne demande pas de justification).

    44 % des perles sont équilibrées, deux cinquièmes sont baroques et les autres sont sphériques donc 40% des perles sont baroques et 16% des perles sont sphériques.

    60 % des perles sont argentées dont 15 % sont sphériques et la moitié sont baroques donc 30 % des perles sont argentées et baroques et, 0,6×0,15=0,09 Soit 9 % des perles sont argentées et sphériques.

     SphériqueÉquilibréeBaroqueTotal
    Argentée9%21%30%60%
    Noire7%23%10%40%
    Total16%44%40%100 %
  2. Le bijoutier choisit une perle du stock au hasard. On suppose que chaque perle a la même probabilité d'être choisie.
    On note :

    • A l'événement : « la perle est argentée » ;
    • N l'événement : « la perle est noire » ;
    • S l'événement : « la perle est de forme sphérique » ;
    • E l'événement : « la perle est de forme équilibrée » ;
    • B l'événement : « la perle est de forme baroque ».

    Toutes les probabilités seront données sous forme décimale exacte.

    1. Quelle est la probabilité que le bijoutier choisisse une perle de forme baroque ?

      D'après les données figurant dans le tableau p(B)=0,4

      La probabilité que le bijoutier choisisse une perle de forme baroque est égale à 0,4.


    2. Quelle est la probabilité que le bijoutier choisisse une perle noire de forme équilibrée ?

      D'après les données figurant dans le tableau p(NE)=0,23

      La probabilité que le bijoutier choisisse une perle noire de forme équilibrée est égale à 0,23.


    3. Déterminer la probabilité de l'événement AB puis interpréter ce résultat.

      p(AB)=p(A)+p(B)-p(AB)Soitp(AB)=0,6+0,4-0,3=0,7

      La probabilité que le bijoutier choisisse une perle argentée ou de forme baroque est égale à 0,7.


    4. Le bijoutier a choisi une perle de forme baroque. Quelle est la probabilité qu'elle ne soit pas argentée ?

      pB(A¯)=pB(N)=p(NB)p(B)SoitpB(N)=0,10,4=0,25

      La probabilité que le bijoutier choisisse une perle qui ne soit pas argentée parmi les perles de forme baroque est égale à 0,25.


  3. Pour une création de bijou original, le bijoutier choisit dans son stock quatre perles au hasard et de manière indépendante. On admet que le nombre de perles est suffisamment grand pour que le choix d'une perle soit assimilé à un tirage avec remise.

    Le bijoutier choisit dans son stock quatre perles au hasard et de manière indépendante et le nombre de perles est suffisamment grand pour que le choix d'une perle soit assimilé à un tirage avec remise. Par conséquent, le choix des perles est modélisé par la répétition de quatre expériences de Bernoulli.

    1. Calculer la probabilité qu'aucune des quatre perles choisies ne soit argentée.

      La loi de probabilité associée au nombre de perles argentées est une loi binomiale de paramètres 4 et 0,6. La probabilité qu'aucune des quatre perles choisies ne soit argentée est : p(A¯)4=(1-0,6)4=0,0256

      La probabilité qu'aucune des quatre perles choisies ne soit argentée est égale à 0,0256.


    2. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins une perle sphérique parmi les quatre perles choisies (donner une valeur approchée de ce résultat à 10− 3 près).

      L'évènement "il y a au moins une perle sphérique parmi les quatre perles choisies" est l'évènement contraire de l'évènement "aucune des quatre perles choisies n'est sphérique".

      La loi de probabilité associée au nombre de perles sphériques est une loi binomiale de paramètres 4 et 0,16. La probabilité qu'aucune des quatre perles choisies ne soit sphérique est : p(S¯)4=(1-0,16)4=0,844 Donc la probabilité qu'il y ait au moins une perle sphérique parmi les quatre perles choisies est : 1-p(S¯)4=1-0,8440,502

      Arrondie à 10− 3 près, la probabilité qu'il y ait au moins une perle sphérique parmi les quatre perles choisies est 0,502.



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