sujet : Pondichery

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

1. Déterminer, en utilisant une calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième).

   Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $y=\mathrm{2,45}x+\mathrm{69,3}$

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2. En 1993, la population globale de l'Allemagne réunifiée s'élevait à 81 millions d'habitants. L'ajustement proposé est-il adapté ?

   Le rang de l'année 1993 est 8 : $$\begin{array}{ccc}\mathrm{2,45}\times 8+\mathrm{69,3}=\mathrm{88,9}& \text{et}& {\displaystyle \frac{\mathrm{88,9}}{81}}\approx \mathrm{1,0975}\end{array}$$

   Avec cet ajustement, on obtient une surestimation de la population en 1993 de 9,75%. Sur le long terme, ce modèle ne semble pas adapté.

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partie b

1. Recopier sur la copie et compléter la dernière ligne du tableau ci-dessous (les résultats seront arrondis au centième).

   Source : INSEE

   Année	1958	1963	1968	1973	1993	1998	2003	2008
   Rang de l'année $x_i$, $0⩽i⩽11$	1	2	3	4	8	9	10	11
   $z_i={\mathrm{e}}^{\frac{y_i}{100}}$ (arrondi au centième) $0⩽i⩽11$	2,04	2,1	2,16	2,2	2,25	2,27	2,28	2,28

2. En déduire, en utilisant la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de z en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. On donnera la réponse sous la forme $z=ax+b$, les coefficients a etb seront arrondis au centième.

   Une équation de la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $z=\mathrm{0,02}x+\mathrm{2,07}$ (coefficients arrondis au centième)

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3. En déduire que l'ajustement logarithmique recherché est donné par l'équation $y=100\ln \left(\mathrm{0,02}x+\mathrm{2,07}\right)$.

   Pour tout réel y, $$\begin{array}{ccccccc}z={\mathrm{e}}^{\frac{y}{100}}& \iff & \ln z=\ln \left({\mathrm{e}}^{\frac{y}{100}}\right)& \iff & \ln z={\displaystyle \frac{y}{100}}& \iff & y=100\ln z\end{array}$$

   Soit $y=100\ln \left(\mathrm{0,02}x+\mathrm{2,07}\right)$.

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4. À l'aide de ce nouvel ajustement, donner une estimation de la population de l'Allemagne en 2013.

   Le rang de l'année 2013 est 12 et $$100\ln \left(\mathrm{0,02}\times 12+\mathrm{2,07}\right)\approx \mathrm{83,7}$$

   Avec cet ajustement, la population de l'Allemagne serait de 83,7 millions d'habitants en 2013 .

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