Les parties A et B sont indépendantes.
Le tableau ci-dessous donne l'évolution, par période de cinq ans, de la population globale des deux Allemagnes (R.F.A. et R.D.A.) de 1958 à 1973.
Année | 1958 | 1963 | 1968 | 1973 |
Rang de l'année , | 1 | 2 | 3 | 4 |
Population des deux Allemagnes en millions d'habitants | 71,5 | 74,4 | 77 | 78,8 |
Ces données sont représentées par le nuage de points ci-dessous :
L'allure de ce nuage suggère un ajustement affine.
Déterminer, en utilisant une calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième).
Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est
En 1993, la population globale de l'Allemagne réunifiée s'élevait à 81 millions d'habitants. L'ajustement proposé est-il adapté ?
Le rang de l'année 1993 est 8 :
Avec cet ajustement, on obtient une surestimation de la population en 1993 de 9,75%. Sur le long terme, ce modèle ne semble pas adapté.
On étudie ci-dessous l'évolution de la population de l'Allemagne sur une période plus étendue (à partir de 1990, il s'agit de la population de l'Allemagne réunifiée).
Année | 1958 | 1963 | 1968 | 1973 | 1993 | 1998 | 2003 | 2008 |
Rang de l'année , | 1 | 2 | 3 | 4 | 8 | 9 | 10 | 11 |
Population de l'Allemagne en millions d'habitants | 71,5 | 74,4 | 77 | 78,8 | 81 | 82,1 | 82,5 | 82,2 |
Ces données sont représentées par le nuage de points ci-dessous :
Au vu de l'allure du nuage, un ajustement logarithmique semble plus approprié. Pour cela on pose pour .
Recopier sur la copie et compléter la dernière ligne du tableau ci-dessous (les résultats seront arrondis au centième).
Année | 1958 | 1963 | 1968 | 1973 | 1993 | 1998 | 2003 | 2008 |
Rang de l'année , | 1 | 2 | 3 | 4 | 8 | 9 | 10 | 11 |
(arrondi au centième) | 2,04 | 2,1 | 2,16 | 2,2 | 2,25 | 2,27 | 2,28 | 2,28 |
En déduire, en utilisant la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de z en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. On donnera la réponse sous la forme , les coefficients a etb seront arrondis au centième.
Une équation de la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est (coefficients arrondis au centième)
En déduire que l'ajustement logarithmique recherché est donné par l'équation .
Pour tout réel y,
Soit .
À l'aide de ce nouvel ajustement, donner une estimation de la population de l'Allemagne en 2013.
Le rang de l'année 2013 est 12 et
Avec cet ajustement, la population de l'Allemagne serait de 83,7 millions d'habitants en 2013 .
Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.