Baccalauréat 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Pondichery

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

partie a :

On considère la fonction A définie sur l'intervalle [1;+[ par A(x)=41-e-0,039x.

  1. Calculer la limite de A(x) quand x tend vers +.

    limx+-0,039x=- et limX-eX=0 alors par composition, limx+e-0,039x=0 d'où limx+41-e-0,039x=4

    Ainsi, limx+A(x)=4


  2. On admet que la fonction A est dérivable sur [1;+[ et on note A sa fonction dérivée sur cet intervalle. Montrer que, pour tout x appartenant à [1;+[ on a A(x)=-0,156e-0,039x(1-e-0,039x)2.

    Sur [1;+[, la fonction A est de la forme A=4u et u0 d'où A=-4×uu2 . Avec pour tout réel x1, u(x)=1-e-0,039x et u(x)=-(-0,039)×e-0,039x=0,039e-0,039x.

    Ainsi pour tout réel x1, A(x)=-4×(0,039e-0,039x)(1-e-0,039x)2

    Soit pour tout réel x appartenant à [1;+[ on a A(x)=-0,156e-0,039x(1-e-0,039x)2.


  3. Justifier que A(x)<0 pour tout x appartenant à [1;+[. Dresser le tableau de variation de A sur [1;+[.

    Pour tout réel x1, e-0,039x>0 et (1-e-0,039x)2>0 donc e-x(1+e-x)2>0

    Ainsi, pour tout réel x appartenant à [1;+[, A(x)<0. Donc A est une fonction strictement décroissante.


    x1 +
    A(x)  
    A(x)

    41-e-0,039

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    4

partie b :

Un particulier souhaite réaliser auprès d'une banque un emprunt d'un montant de 100 000 € à un taux annuel fixé. On admet que, si l'on réalise cet emprunt sur une durée de n années (n1), le montant d'une annuité (somme à rembourser chaque année, pendant n ans) est donné en milliers d'euros par A(n)=41-e-0,039n.

Pour un emprunt fait sur n années (n1), on note :

S(n) le montant total payé à la banque au bout des n années (en milliers d'euros) ;
I(n) le total des intérêts payés à la banque au bout des n années (en milliers d'euros).

Dans les questions qui suivent, on donnera les résultats arrondis au millième.

  1. Calculer A(1), A(10) et A(20) et interpréter ces résultats.

    A(1)=41-e-0,039104,577;A(10)=41-e-0,3912,386;A(20)=41-e-0,787,386

    Pour un emprunt d'un montant de 100 000 €, le montant des annuités dépend de la durée de l'emprunt :

    Durée de l'emprunt1 an10 ans20 ans
    Montant d'une annuité10 457712 3867 386
  2. Démontrer que I(n)=4n1-e-0,039n-100 pour tout n1.

    Pour un emprunt de 100 milliers d'euros fait sur n années :

    le montant total payé à la banque au bout des n années (en milliers d'euros) est S(n)=n×A(n)soitS(n)=4n1-e-0,039n

    par conséquent, le total des intérêts payés à la banque au bout des n années (en milliers d'euros) est I(n)=S(n)-100soitI(n)=4n1-e-0,039n-100

    Pour un emprunt de 100 milliers d'euros fait sur n années, le total des intérêts payés à la banque au bout des n années (en milliers d'euros) est I(n)=4n1-e-0,039n-100


  3. Recopier et compléter le tableau suivant sur votre feuille

    A(10)=41-e-0,3912,386;S(10)=10×12,386=123,86;I(10)=123,86-100=23,86A(15)=41-e-0,5859,032;S(15)=15×9,032=135,48;I(15)=135,48-100=35,48A(20)=41-e-0,787,386;S(20)=20×7,386=147,72;I(20)=147,72-100=47,72

    Durée de l'emprunt n10 ans15 ans20 ans
    Montant d'une annuité A(n)12,3869,0327,386
    Montant S(n) des n annuités payées à la banque123,86135,48147,72
    Intérêts I(n) versés à la banque23,8635,4847,72
  4. Pour faciliter l'étude des valeurs de A(n),S(n) et I(n), on utilise les fonctions A, S et I définies sur [1;20] par :A(x)=41-e-0,039x;S(x)=4x1-e-0,039x;I(x)=4x1-e-0,039x-100 On a représenté respectivement en ANNEXE 1 ci-après les fonctions A et S par les courbes CA et CS sur l'intervalle [1;20]

    1. Expliquer comment utiliser le graphique de l'ANNEXE 1 pour retrouver I(10).

      Pour tout entier 1n20, I(n)=S(n)-100 soit I(10)=S(10)-100. Graphiquement, I(10) est la distance entre le point de la courbe CS d'abscisse 10 et la droite d'équation y=100.

      annexe 1

      Courbes représentatives des fonctions A et B : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
      Expliquer comment déterminer graphiquement sur l'ANNEXE 1 le sens de variation du montant total des intérêts à payer en fonction de la durée du remboursement de l'emprunt.

      Pour tout réel x appartenant à [1;20], I(x)=S(x)-100. I est donc la composée de la fonction S suivie de la fonction affine f:xx-100

      Or sur le graphique, CS est la courbe représentative d'une fonction croissante, comme la fonction affine f est croissante, nous pouvons déduire que I est une fonction croissante.

      Le montant total des intérêts à payer augmente en fonction de la durée du remboursement de l'emprunt.



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