Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
On considère la fonction A définie sur l'intervalle par .
Calculer la limite de quand x tend vers .
et alors par composition, d'où
Ainsi,
On admet que la fonction A est dérivable sur et on note sa fonction dérivée sur cet intervalle. Montrer que, pour tout x appartenant à on a .
Sur , la fonction A est de la forme et d'où . Avec pour tout réel , et .
Ainsi pour tout réel ,
Soit pour tout réel x appartenant à on a .
Justifier que pour tout x appartenant à . Dresser le tableau de variation de A sur .
Pour tout réel , et donc
Ainsi, pour tout réel x appartenant à , . Donc A est une fonction strictement décroissante.
x | 1 | ||
− | |||
4 |
Un particulier souhaite réaliser auprès d'une banque un emprunt d'un montant de 100 000 € à un taux annuel fixé. On admet que, si l'on réalise cet emprunt sur une durée de n années (), le montant d'une annuité (somme à rembourser chaque année, pendant n ans) est donné en milliers d'euros par .
Pour un emprunt fait sur n années (), on note :
le montant total payé à la banque au bout des n années (en milliers d'euros) ;
le total des intérêts payés à la banque au bout des n années (en milliers d'euros).
Dans les questions qui suivent, on donnera les résultats arrondis au millième.
Calculer , et et interpréter ces résultats.
Pour un emprunt d'un montant de 100 000 €, le montant des annuités dépend de la durée de l'emprunt :
Durée de l'emprunt | 1 an | 10 ans | 20 ans |
Montant d'une annuité | 10 4577 | 12 386 | 7 386 |
Démontrer que pour tout .
Pour un emprunt de 100 milliers d'euros fait sur n années :
le montant total payé à la banque au bout des n années (en milliers d'euros) est
par conséquent, le total des intérêts payés à la banque au bout des n années (en milliers d'euros) est
Pour un emprunt de 100 milliers d'euros fait sur n années, le total des intérêts payés à la banque au bout des n années (en milliers d'euros) est
Recopier et compléter le tableau suivant sur votre feuille
Durée de l'emprunt n | 10 ans | 15 ans | 20 ans |
Montant d'une annuité | 12,386 | 9,032 | 7,386 |
Montant des n annuités payées à la banque | 123,86 | 135,48 | 147,72 |
Intérêts versés à la banque | 23,86 | 35,48 | 47,72 |
Pour faciliter l'étude des valeurs de , et , on utilise les fonctions A, S et I définies sur par : On a représenté respectivement en ANNEXE 1 ci-après les fonctions A et S par les courbes et sur l'intervalle
Expliquer comment utiliser le graphique de l'ANNEXE 1 pour retrouver .
Pour tout entier , soit . Graphiquement, est la distance entre le point de la courbe d'abscisse 10 et la droite d'équation .
Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Expliquer comment déterminer graphiquement sur l'ANNEXE 1 le sens de variation du montant total des intérêts à payer en fonction de la durée du remboursement de l'emprunt.
Pour tout réel x appartenant à , . I est donc la composée de la fonction S suivie de la fonction affine
Or sur le graphique, est la courbe représentative d'une fonction croissante, comme la fonction affine f est croissante, nous pouvons déduire que I est une fonction croissante.
Le montant total des intérêts à payer augmente en fonction de la durée du remboursement de l'emprunt.
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