sujet : Pondichery

indications pour l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

Le tableau ci-dessous donne l'évolution, par période de cinq ans, de la population globale des deux Allemagnes (R.F.A. et R.D.A.) de 1958 à 1973.

Source : INSEE

Année	1958	1963	1968	1973
Rang de l'année $x_i$, $0⩽i⩽4$	1	2	3	4
Population des deux Allemagnes $y_i$ en millions d'habitants $0⩽i⩽4$	71,5	74,4	77	78,8

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Ces données sont représentées par le nuage de points ci-dessous :

L'allure de ce nuage suggère un ajustement affine.

1. Déterminer, en utilisant une calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième).

2. En 1993, la population globale de l'Allemagne réunifiée s'élevait à 81 millions d'habitants. L'ajustement proposé est-il adapté ?

partie b

On étudie ci-dessous l'évolution de la population de l'Allemagne sur une période plus étendue (à partir de 1990, il s'agit de la population de l'Allemagne réunifiée).

Source : INSEE

Année	1958	1963	1968	1973	1993	1998	2003	2008
Rang de l'année $x_i$, $0⩽i⩽11$	1	2	3	4	8	9	10	11
Population de l'Allemagne $y_i$ en millions d'habitants $0⩽i⩽11$	71,5	74,4	77	78,8	81	82,1	82,5	82,2

Ces données sont représentées par le nuage de points ci-dessous :

Au vu de l'allure du nuage, un ajustement logarithmique semble plus approprié. Pour cela on pose $z_i={\mathrm{e}}^{\frac{y_i}{100}}$ pour $0⩽i⩽11$.

1. Recopier sur la copie et compléter la dernière ligne du tableau ci-dessous (les résultats seront arrondis au centième).

   Source : INSEE

   Année	1958	1963	1968	1973	1993	1998	2003	2008
   Rang de l'année $x_i$, $0⩽i⩽11$	1	2	3	4	8	9	10	11
   $z_i={\mathrm{e}}^{\frac{y_i}{100}}$ (arrondi au centième) $0⩽i⩽11$

2. En déduire, en utilisant la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de z en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. On donnera la réponse sous la forme $z=ax+b$, les coefficients a etb seront arrondis au centième.

3. En déduire que l'ajustement logarithmique recherché est donné par l'équation $y=100\ln \left(\mathrm{0,02}x+\mathrm{2,07}\right)$.

   Pour tout réel y, $$\begin{array}{ccc}z={\mathrm{e}}^{\frac{y}{100}}& \iff & \ln z=\ln \left({\mathrm{e}}^{\frac{y}{100}}\right)\end{array}$$

4. À l'aide de ce nouvel ajustement, donner une estimation de la population de l'Allemagne en 2013.

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