sujet : Pondichery

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

partie a : Étude graphique

Les courbes représentatives d'une fonction f et de sa fonction dérivée $f\prime$ sont données ci-dessous.
Associer chaque courbe $C_1$ et $C_2$ à la fonction qu'elle représente. Justifier votre réponse.

Plusieurs arguments sont possibles par exemple :

• La courbe $C_2$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 1. Or la courbe $C_1$ ne coupe pas l'axe des abscisses au point d'abscisse 1. Donc $C_1$ ne peut pas représenter la fonction $f\prime$ .

• Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée $f\prime$

  x	$-\infty$		− 1		3		$+\infty$
  Signe de la fonction $f\prime$ représentée par la courbe $C_2$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	3
  Variations de la fonction f

La courbe $C_2$ représente la fonction $f\prime$ et la courbe $C_1$ représente la fonction f

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partie b : Constructions

Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Chacun des tracés sera brièvement expliqué.

1. Sur l'ANNEXE 2, construire une courbe pouvant représenter une fonction g vérifiant les conditions suivantes : g est dérivable sur l'intervalle $\left[-3;3\right]$ et l'équation $g\prime \left(x\right)=0$ admet trois solutions sur $\left[-3;3\right]$.

   g est dérivable sur l'intervalle $\left[-3;3\right]$ alors g est continue et sa courbe représentative n'a pas de points "anguleux". L'équation $g\prime \left(x\right)=0$ admet trois solutions sur $\left[-3;3\right]$ alors la courbe représentative de la fonction g admet trois tangentes parallèles à l'axe des abscisses.

   Sur l'intervalle $\left[-3;3\right]$, il suffit de tracer une courbe "d'un trait continu" sans points "anguleux" et admettant trois tangentes parallèles à l'axe des abscisses.

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2. Sur l'ANNEXE 2, construire une courbe pouvant représenter une fonction h définie et continue sur $\left[-3;3\right]$ et vérifiant les conditions suivantes :

   x	− 3		0		2		3
   $\ln \left[h\left(x\right)\right]$

   La fonction h est définie et continue sur $\left[-3;3\right]$ donc une fonction affine par morceaux convient.

   La fonction logarithme népérien est croissante sur $\left]3;+\infty \right[$ par conséquent, les fonctions h et $\ln \left(h\right)$ ont les mêmes variations sur tout intervalle où h est strictement positive.

   Sur l'intervalle $\left[-3;3\right]$, il suffit de tracer la courbe d'une fonction affine par morceaux continue, positive et ayant les mêmes variations que $\ln \left(h\right)$.

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3. Sur l'ANNEXE 2, construire une courbe pouvant représenter une fonction k définie et continue sur $\left[-3;3\right]$ et vérifiant les conditions suivantes : $4⩽{\displaystyle {\int }_1^{3}k\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽6$

   Si la fonction k définie et continue sur $\left[-3;3\right]$ est positive sur l'intervalle $\left[1;3\right]$ alors l'intégrale ${\displaystyle {\int }_1^{3}k\left(x\right)\mathrm{d}x}$ mesure en unités d'aire, l'aire du domaine D compris entre la courbe représentative de la fonction k l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=3$

   Sur l'intervalle $\left[-3;3\right]$, il suffit de tracer la courbe d'une fonction continue, positive sur l'intervalle $\left[1;3\right]$ telle que l'aire du domaine D soit comprise entre 6 et 8 unités d'aire.

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   Par exemple la fonction k définie sur $\left[-3;3\right]$ par $k\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}$ convient :$$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_1^3\left({\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{3x}{2}}\right]}_1^3}\hfill \\ & =& \left({\displaystyle \frac{9}{4}}+{\displaystyle \frac{9}{2}}\right)-\left({\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\hfill \\ & =& 5\hfill \end{array}$$

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