sujet : Pondichery

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

partie a :

On considère la fonction A définie sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ par $A\left(x\right)={\displaystyle \frac{4}{1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,039}x}}}$.

1. Calculer la limite de $A\left(x\right)$ quand x tend vers $+\infty$.

2. On admet que la fonction A est dérivable sur $\left[1;+\infty \right[$ et on note $A\prime$ sa fonction dérivée sur cet intervalle. Montrer que, pour tout x appartenant à $\left[1;+\infty \right[$ on a $A\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,156}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,039}x}}{{\left(1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,039}x}\right)}^2}}$.

   $A={\displaystyle \frac{4}{u}}$ d'où $A\prime =-{\displaystyle \frac{4\times u\prime }{u^2}}$

3. Justifier que $A\prime \left(x\right)<0$ pour tout x appartenant à $\left[1;+\infty \right[$. Dresser le tableau de variation de A sur $\left[1;+\infty \right[$.

partie b :

Un particulier souhaite réaliser auprès d'une banque un emprunt d'un montant de 100 000 € à un taux annuel fixé. On admet que, si l'on réalise cet emprunt sur une durée de n années ($n⩾1$), le montant d'une annuité (somme à rembourser chaque année, pendant n ans) est donné en milliers d'euros par $A\left(n\right)={\displaystyle \frac{4}{1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,039}n}}}$.

Pour un emprunt fait sur n années ($n⩾1$), on note :

$S\left(n\right)$ le montant total payé à la banque au bout des n années (en milliers d'euros) ;
$I\left(n\right)$ le total des intérêts payés à la banque au bout des n années (en milliers d'euros).

Dans les questions qui suivent, on donnera les résultats arrondis au millième.

1. Calculer $A\left(1\right)$, $A\left(10\right)$ et $A\left(20\right)$ et interpréter ces résultats.

2. Démontrer que $I\left(n\right)={\displaystyle \frac{4n}{1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,039}n}}}-100$ pour tout $n⩾1$.

   Pour un emprunt de 100 milliers d'euros, le particulier verse à la banque chaque année la somme $A\left(n\right)$. Au bout de n années, le particulier aura versé à la banque la somme $S\left(n\right)=n\times A\left(n\right)$. Le montant total des intérêts versés est donc $I\left(n\right)=S\left(n\right)-100$

3. Recopier et compléter le tableau suivant sur votre feuille

   Durée de l'emprunt n	10 ans	15 ans	20 ans
   Montant d'une annuité $A\left(n\right)$
   Montant $S\left(n\right)$ des n annuités payées à la banque
   Intérêts $I\left(n\right)$ versés à la banque

4. Pour faciliter l'étude des valeurs de $A\left(n\right)$,$S\left(n\right)$ et $I\left(n\right)$, on utilise les fonctions A, S et I définies sur $\left[1;20\right]$ par :$$\begin{array}{ccccc}A\left(x\right)={\displaystyle \frac{4}{1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,039}x}}}& \text{;}& S\left(x\right)={\displaystyle \frac{4x}{1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,039}x}}}& \text{;}& I\left(x\right)={\displaystyle \frac{4x}{1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,039}x}}}-100\end{array}$$

   On a représenté respectivement en ANNEXE 1 ci-après les fonctions A et S par les courbes $C_A$ et $C_S$ sur l'intervalle $\left[1;20\right]$

   1. Expliquer comment utiliser le graphique de l'ANNEXE 1 pour retrouver $I\left(10\right)$.

   2. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

      Expliquer comment déterminer graphiquement sur l'ANNEXE 1 le sens de variation du montant total des intérêts à payer en fonction de la durée du remboursement de l'emprunt.

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