sujet : amérique du nord

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

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On considère la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{-x}$. La courbe représentative de f est tracée dans le repère ci-dessous :

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1. Pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)$ est égal à :

   La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables et pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& 1\times {\mathrm{e}}^{-x}+x\times \left(-{\mathrm{e}}^{-x}\right)\hfill \\ & =& {\mathrm{e}}^{-x}\left(1-x\right)\hfill \end{array}$$

   a )  $-x{\mathrm{e}}^{-x}$

   b )  ${\mathrm{e}}^{-x}$

   c )  $\left(1-x\right){\mathrm{e}}^{-x}$

2. La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 0 a pour équation :

   Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 0 est égal au nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$. Or $$f\prime \left(0\right)=1\times {\mathrm{e}}^0=1$$

   a )   $y=x$

   b )  $y=2x$

   c )  $y=-x$

3. Une primitive F de f est définie sur $ℝ$ par :

   Dire que F est une primitive de f sur $ℝ$ signifie que pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   Or la dérivée de la fonction F définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)=-\left(1+x\right){\mathrm{e}}^{-x}$ est :$$\begin{array}{ccc}F\prime \left(x\right)& =& -1\times {\mathrm{e}}^{-x}-\left(1+x\right)\times \left(-{\mathrm{e}}^{-x}\right)\hfill \\ & =& x{\mathrm{e}}^{-x}\hfill \end{array}$$

   a )   $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2{\mathrm{e}}^{-x}$

   b )  $F\left(x\right)=-\left(1+x\right){\mathrm{e}}^{-x}$

   c )  $F\left(x\right)=-x{\mathrm{e}}^{-x}$

4. La valeur de ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est :

   Sur l'intervalle $\left[0;2\right]$, f est continue et positive par conséquent l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ mesure l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction f, les axes du repère et la droite d'équation $x=2$.

   Graphiquement, cette aire est inférieure à une unité d'aire.

   a )   négative

   b )  inférieure à 1

   c )  supérieure à 3

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