Baccalauréat mai 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du nord

correction de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à 10− 3près.

On rappelle que si A et B sont deux évènements d'un ensemble probabiliste, avec A de probabilité non nulle, la probabilité de B sachant A est le réel noté PAB.

L'asthme est une maladie inflammatoire chronique des voies respiratoires en constante augmentation. En France les statistiques font apparaître que, parmi les adultes, environ 4 % des hommes et 5 % des femmes sont asthmatiques.

Dans la population française, on considère l'ensemble des couples homme-femme.

partie a : Étude de l'état d'asthme du couple

On note : H l'évènement : « L'homme est asthmatique » et F l'évènement : « La femme est asthmatique ». On admet que les évènements H et F sont indépendants.

  1. Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous.

    En France les statistiques font apparaître que, parmi les adultes, environ 4 % des hommes et 5 % des femmes sont asthmatiques d'où PH=0,04 et PF=0,05. On en déduit que PH¯=0,96 et PF¯=0,95.

    D'autre part, les évènements H et F sont indépendants d'où PHF=PF.

    D'où l'arbre de probabilités traduisant les données de l'énoncé :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. On note les évènements :

    • A : « Aucun des deux adultes du couple n'est asthmatique »
    • B : « Un seul des deux adultes du couple est asthmatique »
    • C : « Les deux adultes du couple sont asthmatiques »

    Montrer que : PA=0,912 ; PB=0,086; PC=0,002.

    Les évènements H et F sont indépendants d'où :

    • PA=PH¯F¯=PH¯×PF¯. Soit PA=0,96×0,95=0,912


    • PC=PHF=PH×PF. Soit PC=0,04×0,05=0,002


    D'autre part, PA+PB+PC=1 d'où PB=1-PA+PC. Soit PB=1-0,914=0,086


partie b : Étude de la transmission de l'asthme au premier enfant

Les études actuelles sur cette maladie montrent que :

  • Si aucun des parents n'est asthmatique, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de 0,1.
  • Si un seul des parents est asthmatique, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de 0,3.
  • Si les deux parents sont asthmatiques, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de 0,5.

On note E l'évènement : « Le premier enfant du couple est asthmatique ».

  1. Reproduire sur votre copie puis compléter l'arbre de probabilités ci-dessous.

    • Si aucun des parents n'est asthmatique, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de 0,1. D'où PAE=0,1 et PAE¯=1-0,1=0,9
    • Si un seul des parents est asthmatique, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de 0,3. D'où PBE=0,3 et PBE¯=1-0,3=0,7
    • Si les deux parents sont asthmatiques, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de 0,5. D'où PCE=0,5 et PCE¯=1-0,5=0,5

    D'où l'arbre de probabilités :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Montrer que PE=0,118.

    Les évènements A, B et C déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales : A 1 ,A 2 , , A n   forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
    Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p( B )=p( B A 1 )+p( B A 2 )++p( B A n )
    Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : pB =p B A +p B A¯
    PE=PAE+PBE+PCE

    Or : PAE=PAE×PAsoitPAE=0,1×0,912=0,0912PBE=PBE×PBsoitPBE=0,3×0,086=0,0258etPCE=PCE×PCsoitPCE=0,5×0,002=0,001

    D'où PE=0,0912+0,0258+0,001=0,118

    Ainsi, la probabilité pour un couple d'avoir un enfant asthmatique est égale à 0,118.


  3. Calculer PEA et interpréter le résultat. Déduire PEA¯ et interpréter le résultat.

    • PEA=PAEPEsoitPEA=0,09120,1180,773

      Arrondie à 10 − 3 près, la probabilité qu'un enfant asthmatique ait ses deux parents non asthmatiques est 0,773.


    • PEA¯=1-PEAsoitPEA¯=1-0,773=0,227

      La probabilité qu'un enfant asthmatique ait au moins un de ses parents asthmatiques est égale à 0,227.


  4. Quelle est la probabilité qu'un enfant non asthmatique ait au moins un de ses parents asthmatiques ?
    (Indication : on pourra chercher à calculer l'évènement contraire)

    La probabilité qu'un enfant non asthmatique ait au moins un de ses parents asthmatiques est l'évènement contraire de l'évènement « un enfant non asthmatique a ses deux parents non asthmatiques ». Soit PE¯A¯=1-PE¯A=1-PAE¯PE¯

    Or PE¯=1-0,118=0,882 et PAE¯=PAE¯×PAsoitPAE¯=0,9×0,912=0,8208

    D'où PE¯A¯=1-0,82080,8820,069

    La probabilité qu'un enfant non asthmatique ait au moins un de ses parents asthmatiques est égale à 0,069.



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