sujet : amérique du nord

correction de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à 10^{− 3}près.

partie a : Étude de l'état d'asthme du couple

On note : H l'évènement : « L'homme est asthmatique » et F l'évènement : « La femme est asthmatique ». On admet que les évènements H et F sont indépendants.

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous.

   En France les statistiques font apparaître que, parmi les adultes, environ 4 % des hommes et 5 % des femmes sont asthmatiques d'où $P\left(H\right)=\mathrm{0,04}$ et $P\left(F\right)=\mathrm{0,05}$. On en déduit que $P\left(\overline{H}\right)=\mathrm{0,96}$ et $P\left(\overline{F}\right)=\mathrm{0,95}$.

   D'autre part, les évènements H et F sont indépendants d'où $P_H\left(F\right)=P\left(F\right)$.

   D'où l'arbre de probabilités traduisant les données de l'énoncé :

2. On note les évènements :

   • A : « Aucun des deux adultes du couple n'est asthmatique »
   • B : « Un seul des deux adultes du couple est asthmatique »
   • C : « Les deux adultes du couple sont asthmatiques »

   Montrer que : $P\left(A\right)=\mathrm{0,912}$ ; $P\left(B\right)=\mathrm{0,086}$; $P\left(C\right)=\mathrm{0,002}$.

   Les évènements H et F sont indépendants d'où :

   • $P\left(A\right)=P\left(\overline{H}\cap \overline{F}\right)=P\left(\overline{H}\right)\times P\left(\overline{F}\right)$. Soit $P\left(A\right)=\mathrm{0,96}\times \mathrm{0,95}=\mathrm{0,912}$

     ---

   • $P\left(C\right)=P\left(H\cap F\right)=P\left(H\right)\times P\left(F\right)$. Soit $P\left(C\right)=\mathrm{0,04}\times \mathrm{0,05}=\mathrm{0,002}$

     ---

   D'autre part, $P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)=1$ d'où $P\left(B\right)=1-\left(P\left(A\right)+P\left(C\right)\right)$. Soit $P\left(B\right)=1-\mathrm{0,914}=\mathrm{0,086}$

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partie b : Étude de la transmission de l'asthme au premier enfant

1. Reproduire sur votre copie puis compléter l'arbre de probabilités ci-dessous.

   • Si aucun des parents n'est asthmatique, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de 0,1. D'où $P_A\left(E\right)=\mathrm{0,1}$ et $P_A\left(\overline{E}\right)=1-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}$
   • Si un seul des parents est asthmatique, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de 0,3. D'où $P_B\left(E\right)=\mathrm{0,3}$ et $P_B\left(\overline{E}\right)=1-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,7}$
   • Si les deux parents sont asthmatiques, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de 0,5. D'où $P_C\left(E\right)=\mathrm{0,5}$ et $P_C\left(\overline{E}\right)=1-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,5}$

   D'où l'arbre de probabilités :

2. Montrer que $P\left(E\right)=\mathrm{0,118}$.

   Les évènements A, B et C déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$P\left(E\right)=P\left(A\cap E\right)+P\left(B\cap E\right)+P\left(C\cap E\right)$$

   Or : $$\begin{array}{llll}& P\left(A\cap E\right)=P_A\left(E\right)\times P\left(A\right)& \text{soit}& P\left(A\cap E\right)=\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,912}=\mathrm{0,0912}\\ & P\left(B\cap E\right)=P_B\left(E\right)\times P\left(B\right)& \text{soit}& P\left(B\cap E\right)=\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,086}=\mathrm{0,0258}\\ \text{et}& P\left(C\cap E\right)=P_C\left(E\right)\times P\left(C\right)& \text{soit}& P\left(C\cap E\right)=\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,002}=\mathrm{0,001}\end{array}$$

   D'où $$P\left(E\right)=\mathrm{0,0912}+\mathrm{0,0258}+\mathrm{0,001}=\mathrm{0,118}$$

   Ainsi, la probabilité pour un couple d'avoir un enfant asthmatique est égale à 0,118.

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3. Calculer $P_E\left(A\right)$ et interpréter le résultat. Déduire $P_E\left(\overline{A}\right)$ et interpréter le résultat.

   • $$\begin{array}{ccc}{P}_E\left(A\right)={\displaystyle \frac{P\left(A\cap E\right)}{P\left(E\right)}}& \text{soit}& P_E\left(A\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0912}}{\mathrm{0,118}}}\approx \mathrm{0,773}\end{array}$$

     Arrondie à 10 ^{− 3} près, la probabilité qu'un enfant asthmatique ait ses deux parents non asthmatiques est 0,773.

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   • $$\begin{array}{ccc}{P}_E\left(\overline{A}\right)=1-P_E\left(A\right)& \text{soit}& P_E\left(\overline{A}\right)=1-\mathrm{0,773}=\mathrm{0,227}\end{array}$$

     La probabilité qu'un enfant asthmatique ait au moins un de ses parents asthmatiques est égale à 0,227.

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4. Quelle est la probabilité qu'un enfant non asthmatique ait au moins un de ses parents asthmatiques ?
   (Indication : on pourra chercher à calculer l'évènement contraire)

   La probabilité qu'un enfant non asthmatique ait au moins un de ses parents asthmatiques est l'évènement contraire de l'évènement « un enfant non asthmatique a ses deux parents non asthmatiques ». Soit $$P_{\overline{E}}\left(\overline{A}\right)=1-P_{\overline{E}}\left(A\right)=1-{\displaystyle \frac{P\left(A\cap \overline{E}\right)}{P\left(\overline{E}\right)}}$$

   Or $P\left(\overline{E}\right)=1-\mathrm{0,118}=\mathrm{0,882}$ et $$\begin{array}{cccc}& P\left(A\cap \overline{E}\right)=P_A\left(\overline{E}\right)\times P\left(A\right)& \text{soit}& P\left(A\cap \overline{E}\right)=\mathrm{0,9}\times \mathrm{0,912}=\mathrm{0,8208}\end{array}$$

   D'où $$P_{\overline{E}}\left(\overline{A}\right)=1-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,8208}}{\mathrm{0,882}}}\approx \mathrm{0,069}$$

   La probabilité qu'un enfant non asthmatique ait au moins un de ses parents asthmatiques est égale à 0,069.

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